» » Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия, раздел геометрии, в котором свойства геометрических образов (точек, линий, поверхностей) устанавливаются средствами алгебры при помощи метода координат, то есть путем изучения свойств уравнений, графиками которых эти образы.
Аналитическая геометрия – раздел геометрии, изучающий свойства геометрических фигур средствами элементарной алгебры (в широком понимании – средствами математического анализа), связывая их с применением метода координат. Основные положения аналитической геометрии впервые сформулировал философ и математик Р. Декарт. Г. Лейбниц, И. Ньютон и Л. Эйлер предоставили аналитической геометрии современной структуры.
Характерной особенностью аналитической геометрии является определение геометрических фигур уравнениями. Пусть на плоскости с осями координат OX и OY (прямоугольная декартова система координат) имеем линию l. Если вдоль l удалить точку M, то координаты x, y этой точки будут меняться, но между ними будет существовать определенная зависимость, которую можно записать в виде уравнения:

,

где f (x, y) является математическое выражение, содержащее переменные x и y или одну из них.
Например, из прямоугольного треугольника OMP выводим, что уравнение круга K радиуса г с центром в начале координат 0 является

x 2 + y 2 – r 2 = 0.

Рассмотрим еще прямую АВ. Если М является произвольная ее точка и OA = a, OB = b, то PA = a – x. С подобия прямоугольных треугольников MPA и BOA имеем:

.

Отсюда получаем уравнение прямой АВ:

.

В аналитической геометрии принимают, что уравнение определяет геометрическую фигуру как множество точек, координаты х и у которых оправдывает это уравнение. Другими словами, уравнение рассматривают как средство для разделения точек плоскости на 2 класса: к 1-му относятся точки, координаты которых оправдывает данное уравнение (эти точки образуют определенную уравнением фигуру), до 2-го-все остальные точки плоскости. Если уравнение алгебраическое, то оно определяет линию – действительную или мнимую (см. ниже), которую называют алгебраической, а степень уравнения – порядком этой линии. Порядок алгебраической линии не зависит от того, как размещены относительно нее оси координат. Прямые и только прямые являются линиями 1-го порядка; конические сечения (т.е. линии, образующихся при пересечении конуса плоскостью) и только они являются линиями 2-го порядка. Аналогично уравнение f (x, y, z) = 0, где х, у, z-декартовы координаты точки в пространстве, определяет пространственную фигуру, в частности алгебраическую поверхность n-го порядка, если оно является алгебраическим уравнением n-ой степени. В современных курсах аналитической геометрии изучаются только линии и поверхности 1-го и 2-го порядков.
Применение в аналитической геометрии алгебраических методов привело к понятию мнимой фигуры. Совокупность двух чисел х, у, из которых не менее одно мнимое, можно рассматривать как мнимую точку. Если уравнение (например, x 2 + y 2 + 1 = 0) оправдывает лишь координаты мнимых точек, то считают, что оно определяет мнимую фигуру. Хотя понятием бесконечно удаленных и мнимых точек не соответствуют никакие реальные образы, однако введение их позволило глубже исследовать свойства фигур.
В современных курсах аналитической геометрии широко используется аппарат векторного исчисления.

Просмотров: 3829
Дата: 27-03-2011

Инженерная графика

Инженерная графика
Инженерная графика - наука создания проекционных изображений. Предмет инженерной графики. Изображение как геометрическая модель пространства Инженерная графика - это дисциплина, которая
ПОДРОБНЕЕ

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия
Алгебраическая геометрия – раздел математики, который объединяет абстрактную алгебру с геометрией. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и
ПОДРОБНЕЕ

Аналитическая химия

Аналитическая химия
Аналитическая химия – раздел химии, рассматривает принципы и методы определения химического состава вещества. Возникла наряду с неорганической химией раньше других химических наук. Качественный
ПОДРОБНЕЕ

Юлиус Плюккер

Юлиус Плюккер
Юлиус Плюккер (нем. Julius Plucker; 16 июля 1801, Эльберфельде – † 22 мая 1868, Бонн) – немецкий математик и физик, работавший в области аналитической геометрии. Плюккер учился в университетах
ПОДРОБНЕЕ

Евклидова геометрия

Евклидова геометрия
Евклидова геометрия – геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н.э.). Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии – одна из
ПОДРОБНЕЕ

Системы координат

Системы координат
Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные
ПОДРОБНЕЕ
О сайте
Наш сайт создан для тех, кто хочет получать знания.
В нашем мире есть еще столько интересных вещей, мест, мыслей, светлых идей, о которых нужно обязательно узнать!
Авторизация