Мера множества

Неформально, мера – это функция, которая отображает множества на неотъемлемые действительные числа, при этом, надмножества отражаются на большие числа, чем подмножества. Мера множества – общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади плоских фигур и n-мерного объемного объема для более общих пространств.
Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счетно-аддитивная мера.
Понятие меры возникло в теории функции действительного переменного, а оттуда перешло к теории вероятностей, теории динамических систем, функционального анализа и многие другие области математики.
Конечно-аддитивная мера
Пусть задано пространство X с выделенным классом подмножеств, замкнутым относительно конечных пересечений и объединений. Функция называется конечно-аддитивной мере, если она удовлетворяет следующим условиям:

;
Если – конечное семейство попарно не перетинаючихся множеств с, то есть, то

.
Альтернативное определение
Функция множества (A) называется мерой, если:
Система множеств называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношений к образованию связей, и если из принадлежности к множества A и вытекает возможность представления множества A в виде объединения, где A k – попарно неперетинаючихся множества с, первая из которых является заданная множество A 1.
Счетно-аддитивная мера
Пусть задано пространство X с выделенной -алгеброй. Функция называется счетно-аддитивной (или -аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим требованиям:

;
(-аддитивность) Если – счетно семейство попарно не перетинаючихся множеств с, то есть, то


.

Продолжение меры
Мера называется продолжением меры m, если и для каждого выполняется равенство:

(A) = m (A)

При этом для каждой степени m (A), заданной на некотором полукольца существует единственное продолжение m '(A), имеющий в качестве области определения кольцо (т.е. минимальное кольцо над).