Модель Ходжкина-Хаксли

Модель Ходжкина-Хаксли - математическая модель, описывающая генерацию и распространение потенциалов действия в нейронах и других электрически возбуждаемых клетках - таких, например, как сердечные миоциты. Модель представляет собой комплекс ординарных дифференциальных уравнений, которая описывает характеристики электрического сигнала.

Модель была разработана Аланом Ллойдом Ходжкина и Эндрю Хаксли в 1952 году для описания электрических механизмов, обусловливающих генерацию и передачу нервного сигнала в гигантском аксоне кальмара^[1]. За это авторы модели получили Нобелевскую премию в области физиологии и медицины за 1963 год.

Основные компоненты

Компоненты электрической схемы, соответствующей модели Ходжкина-Хаксли, изображенные на картинке. В данной схеме каждый компонент возбуждаемых клетки имеет свии биофизический аналог. Подвийнному липидном слоя клеточной мембраны отвечает электроемкость (С_m). Потенциал-зависимые ионные каналы отвечают нелинейной электрической проводимости (G_N, где n - отдельный вид ионных каналов); это означает, что проводимость есть потенциал-и время-зависимой величиной. Эта составляющая системы, как было показано исследователями позже, реализуется благодаря белковым молекулам, которые образуют потенциал-зависимые ионные каналы, каждому из которых присуща некоторая вероятность открытия, величина которой зависит от электрического потенциала (или электрического напряжения) клеток мембрана. Каналы мембранных пор отвечают пассивной проводимости (G_L, где индекс L означает английское слово "Leak"). Электрохимический градиент, побуждающая ионы к движению сквозь мембранные каналы, показанный С помощьюаккумуляторов с соответствующим электродвижущей силой (E_N и E_L), величина которой определяется уравнением Нернста для соответствующего вида иона. Ионные транспортеры соответствуют источникам тока (I_P).

Производная по времени от мембранного потенциала клеточной мембраны ( $dot{V}_m$ ) При описанных условиях пропорциональна сумме токов в полном электрической цепи. Она описывается следующим уравнением:

$dot{V}_m=-frac{1}{C_m} left(sumlimits ^{}_i I_i right),$ ,

где И_и означает величину электрического тока, генерируемого отдельным видом ионов.

Характеристики ионного тока

Электрический ток, проходящий через ионные каналы, может быть математически выраженный следующим уравнением:

$I_i(V_m,t)=(V_m - E_i) {g_i};$ ,

где Е_и - равновесный потенциал i-го ионного канала. В случае потенциал-зависимых ионных каналов канальная проводимость g_и является функцией времени и потенциала (электрического напряжения) - G_N(t, V) на рисунке, в то время как пассивная проводимость является величиной постоянной (G_L на рисунке). Ток, генерируемый ионными транспортерами, зависит от вида ионов, его переносит соответствующий транспортер. Ниже приведены более подробное описание перечисленных величин:

Потенциал-зависимые ионные каналы

В терминах модели Ходжкина-Хаксли проводимость потенциал-зависимых каналов (gn (t, V)) описывается следующим образом:

${g}_n(V_m,t)=bar{g}_n varphi^alpha chi^beta,$

$dot{varphi}(V_m,t)=frac{1}{tau_varphi} (varphi_infty - varphi)$

$dot{chi}(V_m,t)=frac{1}{tau_chi} (chi_infty - chi),$

где $varphi$ и $χ$ являются константами скорости реакций закрытия и открытия каналов, соответственно. Они численно равны доле от максимальной возможной проводимости через данный вид каналов, что существующая в каждый момент времени при каждой величине мембранного потенциала. $bar{g}_n$ является максимальным возможным значением проводимости. $α$ и $β$ - константы, $фи$ _j и $фи$ _χ - временные константы процессов активации и деактивации каналов, соответственно. $varphi_infty$ и $chi_infty$ является стабилизированными значениями $varphi_infty$ и $chi_infty$ при величине времени, стремится к бесконечности, и обычно рассчитываются из уравнения Больцмана как функция V_M.

Для характеристики ионных каналов, последние два уравнения модифицируются для условий, когда на мембране поддерживается постоянная величина электрического потенциала - модификация уравнений Ходжкина-Хаксли, сделанная Макардтом. Когда мембранный электрический потенциал поддерживается на постоянном уровне (voltage-clamp), для каждого значения этого потенциала нелинейные уравнения, описывающие пропуск ионов через каналы, редуцируются к линейных дифференциальных уравнений следующего вида:

$varphi(t)=varphi_{0} - [ (varphi_{0}-varphi_{infty})(1 - e^{-t/tau_varphi})],$

$chi(t)=chi_{0} - [ (chi_{0}-chi_{infty})(1 - e^{-t/tau_chi})].$

Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала V_M, величина электрического тока описывается следующим уравнением:

$I_n(t)=bar{g}_n varphi^alpha chi^beta (V_m-E_n).$

Для аппроксимации кривых, их генерируют данные уравнения, до значений клеточных токов при фиксированном значении мембранного потенциала використовуетться алгоритм Левенберга-Макардта, что является модифицированным алгоритмом Гаусса-Ньютона.

Пассивные каналы

Пассивные каналы отвечают за проницаемость мембраны для ионов в спокойном состоянии (не во время проведения потенциала действия), и ток через них описывается теми же уравнениями, что и для потенциал-зависимых каналов, но при условии постоянной величины проводимости G_и (G_и= const ).

Ионные транспортеры

Мембранный электрический потенциал генерируется С помощью поддержания концентрационных градиентов ионов, присутствующих в физиологических жидкостях оранизму, относительно клеточной мембраны. Наиболее важными из белков-транспортеров, поддерживающих мембранный потенциал, является натриево-кальциевый (транспортирует один ион Са^{2 +} внутрь клетки в обмен на 3 ионы Na⁺, транспортируемых наружу), натрiево-калиевый (транспоруе один ион Na⁺ наружу в обмен на один ион К⁺ внутрь) и хлорный (транспортирует из клетки наружу ионы Cl^-).

Модификации и альтернативные модели

Модель Ходжкина-Хаксли является одним из важнейших достижений в биофизике и нейрофизиологии 20-го века. Со временем она была модифицирована в следующих направлениях:

Основываясь на экспериментальных данных, в нее были инкорпорированы дополнительные виды ионных каналов и транспортеров.
Основываясь на данных микроскопии высокого разрешения, в уравнение добавлены элементы, характеризующие сложную морфологию отростков нервных клеток (аксонов идендритов).

Также на общих принципах модели Ходжкина-Хаксли были разработаны несколько моделей, описывающих взаимную активацию и деактивацию в нейронных сетях, а также молекулярную динамику генерации потенциала действия.