Вторичное квантование

Вторичное квантование – процедура перехода от классической механики к квантовой с учетом квантовости не только частиц, но и полей.
При вторичном квантовании как частицы, так и поля описываются функциями-операторами, действующими на определенный нулевое состояние системы, широко используется формализм операторов рождения и уничтожения. Эти операторы определены в особом абстрактном линейном пространстве, которое называется пространством Фока.
Учет квантовой природы полей, например электромагнитного поля позволяет, в частности, объяснить явления спонтанного и вынужденного излучения, естественную ширину спектральных линий и т.д.
Физические поля, в частности, электромагнитное поле, описываются волновыми уравнениями. Спектр нормальных мод этих уравнений, вообще, непрерывный, однако его можно дискретизировать, накладывая периодические граничные условия в объеме, размеры которого намного превышают размеры исследуемых систем. Функцию Лагранжа для поля можно записать через нормальные моды в виде

,

где , – Сводная постоянная Планка, E k – энергия нормальной моды, a k – амплитуда нормальной моды. Нормированный собственный вектор нормальной моды – .
Таким образом, функция Лагранжа сводится к сумме функций Лагранжа отдельных классических гармонических осцилляторов. Переход от классических осцилляторов в квантовых проводится по процедуре, описанной в статье гармоничный осциллятор. Как следствие, гамильтониан квантовой системы принимает вид

.

Как и любой квантовый осциллятор, квантовано поле характеризуется нулевыми колебаниями. Состояние с низкой энергией сказывается и называется нулевым состоянием. Соответствующая ему энергия

.

При действии оператора рождения на нулевое состояние образуется частица с энергией . Поскольку операторы рождения и уничтожения таких частиц удовлетворяют коммутационным соотношениям, характерным для квантового осциллятора

,

то такие частицы являются бозонами. Повторная действие оператора на состояние дает состояние с двумя одинаковыми бозонами. Продолжая, можно получить состояние с любым числом бозонов. Количество бозонов в квантованного поле соответствует амплитуде классического поля – чем сильнее поле – тем более бозонов.
Оператор поля в пространстве Фока записывается в общем случае как суперпозиция всех возможных состояний:

,

где – Комплексная функция, задающая амплитуду вероятности существования n бозонов, соответствующие k-й классической нормальной моде.

Подробнее в статье Вторичное квантование фермионов


Для вторичного квантования фермионов, например, электронов, нужно перейти от описания с использованием волновых функций к описанию с использованием соответствующих функций-операторов. Фермионы описываются волновыми уравнениями квантовой механики, например, уравнением Дирака или уравнением Шредингера. Зная спектр соответствующих гамильтониане и собственные функции , Можно записать собственные волновые функции в пространстве Фока в виде

,

где – Оператор рождения соответствующего состояния. В общем, любая волновая функция смешанного состояния

,

где ? n (t) – комплексные функции времени. В случае стационарных состояний
Вводя оператор

,

волновую функцию можно записать как

.

Оператор и является способом описания квантовой системы в пространстве Фока.