Механика Лагранжа

Механика Лагранжа – один из возможных формулировок классической механики, аналогичное по своей сути законам Ньютона.
В физике механика в формулировке Лагранжа оперирует с обобщенными координатами и скоростями и определяет законы эволюции механической системы, опираясь на принцип наименьшего действия.
Механика в формулировке Лагранжа совершенно аналогична ньютоновских и выводится из него. Одновременно она является удобной при рассмотрении систем со связями. Например, при изучении колебаний маятника удобно записывать уравнения движения через угол отклонения от вертикали. Формализм Лагранжа позволяет простым образом получить и такие уравнения движения.
Функция Лагранжа
Для описания физической системы вводятся обобщенные координаты q i и соответствующие обобщенные скорости . Функция Лагранжа определяется как



где T и U – кинетическая и потенциальная энергия системы, соответственно.
Уравнения Эйлера-Лагранжа
Уравнения движения записываются, как



Эти уравнения, которые называют уравнениями Эйлера-Лагранжа, выводятся из принципа наименьшего действия.
В случае, когда в механической системе действуют непотенциальные силы уравнение движения принимает вид

,

где – Обобщенная непотенциальные сила.
Механический осциллятор
В случае классического одномерного механического осциллятора (без трения) функция Лагранжа имеет следующий вид:



k – коэффициент упругости.
Уравнения Лагранжа



L 0 – индуктивность и C 0 – емкость, LC-контура, а q – электрический заряд.
Уравнения Лагранжа



есть такой же, как и в случае подхода, не использующего функцию Лагранжа.
Релятивистская механика
Функция Лагранжа в случае релятивистского движения свободной частицы с массой m имеет вид:



где c – скорость света, а v – скорость частицы.