Механика Гамильтона

Гамильтонова механика это одна из формулировок законов механики, в общем аналогичное законам Ньютона, но удобное для обобщений, использование в статистической физике и для перехода к квантовой механике.
Функция Гамильтона определяется через обобщенные координаты и обобщенные импульсы исходя из функции Лагранжа следующим образом.
Обобщенные импульсы определяются, как

.

Функция Гамильтона определяется согласно

.

После этого все обобщенные скорости d выражаются через обобщенные импульсы и координаты.
По своей сути функция Гамильтона является энергией системы, выраженной через координаты и импульсы.
В случае стационарных связей и потенциальных внешних сил

,

т.е. функция Гамильтона является суммой потенциальной и кинетической энергий, но при этом кинетическая энергия должна быть выражена через импульсы, а не через скорости.
Уравнения эволюции динамической системы записываются в гамильтоновой механике в виде

,


.

Эти уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Они полностью определяют эволюцию системы с течением времени в том смысле, что зная значение обобщенных координат и скоростей в определенный начальный момент времени, можно определить их значение в любой последующий момент времени, решая данную систему уравнений.
Функция Гамильтона для заряда в электромагнитном поле
Всего сила Лоренца не является потенциальной силой, поскольку зависит от скорости движения заряда. Однако ее можно включить в Гамильтоновы механику записав функцию Гамильтона заряженной частицы в следующей форме:



где e – заряд частицы, – Электростатический потенциал, – Векторный потенциал.
В релятивистском случае будем иметь:

.

Функция Гамильтона в теории относительности
Функцию Гамильтона в релятивистском случае можно получить путем стандартной процедуры, зная функцию Лагранжа (См. "Механику" Ландау):



Как видно, ее выражение полностью совпадает с выражением для потенциальной энергии релятивистской частицы, и не зависит в явной форме от импульса. Зная релятивистский импульс, это выражение можно переписать в виде квадратичной формы:

,

из которой и получаем общепризнанный выражение для функции Гамильтона:

.

Это выражение для функции Гамильтона широко используется в классической и квантовой механике.
Использование в квантовой механике
В квантовой механике оператор энергии строится по классической функции Гамильтона заменой обобщенных импульсов p i на операторы импульса , Где – Сводная постоянная Планка. Такой оператор называется гамильтонианом, а процедура перехода от функции Гамильтона к гамильтониану называется процедурой квантования.
Гамильтониан является главным оператором в квантовой механике, поскольку входит в главное уравнения квантовой механики – уравнение Шредингера.
Механический осциллятор
В случае классического механического осциллятора (без трения) функция Гамильтона имеет следующий вид:



где k – коэффициент упругости, а m – масса частицы.
Первое дифференциальное уравнение, равное

,

из которого получаем выражение для импульса:

.

Второе дифференциальное уравнение Гамильтона имеет вид:

,

откуда уравнение движения:



или в стандартной форме:

.

Можно также привести значение "действия" на промежутке одного периода колебаний:



где a – амплитуда колебаний, циклическая частота, а T = 2? / ? – период.
Электрический осциллятор
Для классического L C – контура функция Гамильтона имеет вид:



где "Магнитный импульс" (фактически – магнитный поток).
Можно также привести значение "действия" на промежутке одного периода колебаний:



где q 0 – амплитудное значение заряда, период колебаний.
Механика Лагранжа
Уравнение Гамильтона-Якоби
скобки Пуассона