Механика Гамильтона
Гамильтонова механика это одна из формулировок законов механики, в общем аналогичное законам Ньютона, но удобное для обобщений, использование в статистической физике и для перехода к квантовой механике.
Функция Гамильтона
определяется через обобщенные координаты
и обобщенные импульсы
исходя из функции Лагранжа
следующим образом.
Обобщенные импульсы определяются, как
.
Функция Гамильтона определяется согласно
.
После этого все обобщенные скорости
d
выражаются через обобщенные импульсы и координаты.
По своей сути функция Гамильтона является энергией системы, выраженной через координаты и импульсы.
В случае стационарных связей и потенциальных внешних сил
,
т.е. функция Гамильтона является суммой потенциальной и кинетической энергий, но при этом кинетическая энергия должна быть выражена через импульсы, а не через скорости.
Уравнения эволюции динамической системы записываются в гамильтоновой механике в виде
,
.
Эти уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Они полностью определяют эволюцию системы с течением времени в том смысле, что зная значение обобщенных координат и скоростей в определенный начальный момент времени, можно определить их значение в любой последующий момент времени, решая данную систему уравнений.
Функция Гамильтона для заряда в электромагнитном поле
Всего сила Лоренца не является потенциальной силой, поскольку зависит от скорости движения заряда. Однако ее можно включить в Гамильтоновы механику записав функцию Гамильтона заряженной частицы в следующей форме:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876262_1284444f3bcb44cd0c43b1a4a30d86731c.png)
где e – заряд частицы,
– Электростатический потенциал,
– Векторный потенциал.
В релятивистском случае будем иметь:
.
Функция Гамильтона в теории относительности
Функцию Гамильтона в релятивистском случае можно получить путем стандартной процедуры, зная функцию Лагранжа
(См. "Механику" Ландау):
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876184_173043f955e725976278803acf72ba56bf.png)
Как видно, ее выражение полностью совпадает с выражением для потенциальной энергии релятивистской частицы, и не зависит в явной форме от импульса. Зная релятивистский импульс, это выражение можно переписать в виде квадратичной формы:
,
из которой и получаем общепризнанный выражение для функции Гамильтона:
.
Это выражение для функции Гамильтона широко используется в классической и квантовой механике.
Использование в квантовой механике
В квантовой механике оператор энергии
строится по классической функции Гамильтона заменой обобщенных импульсов p i на операторы импульса
, Где
– Сводная постоянная Планка. Такой оператор называется гамильтонианом, а процедура перехода от функции Гамильтона к гамильтониану называется процедурой квантования.
Гамильтониан является главным оператором в квантовой механике, поскольку входит в главное уравнения квантовой механики – уравнение Шредингера.
Механический осциллятор
В случае классического механического осциллятора (без трения) функция Гамильтона имеет следующий вид:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876271_233f9a3277b768f1db7b0e0b040a6762f9.png)
где k – коэффициент упругости, а m – масса частицы.
Первое дифференциальное уравнение, равное
,
из которого получаем выражение для импульса:
.
Второе дифференциальное уравнение Гамильтона имеет вид:
,
откуда уравнение движения:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876236_274189607e77569426af4d0647191722b1.png)
или в стандартной форме:
.
Можно также привести значение "действия" на промежутке одного периода колебаний:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876271_290267039b526e04cbda0f167247ec985a.png)
где a – амплитуда колебаний,
циклическая частота, а T = 2? / ? – период.
Электрический осциллятор
Для классического L C – контура функция Гамильтона имеет вид:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876179_31373935dbb7fa48bcb6f9fee46bddbae3.png)
где
"Магнитный импульс" (фактически – магнитный поток).
Можно также привести значение "действия" на промежутке одного периода колебаний:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876179_3334d7f4496d6ab268214f566b5bb0db2e.png)
где q 0 – амплитудное значение заряда,
период колебаний.
Механика Лагранжа
Уравнение Гамильтона-Якоби
скобки Пуассона
Функция Гамильтона
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876218_1229dc9a8985c0a1b7a13e1241bac4620.png)
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876212_277f85bf0cc36bb12bf48589705665843.png)
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876198_3ad7a7962815d5cf35684e8ebd291a6fa.png)
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876187_4459af5714426e775afb11d68ac41056a.png)
Обобщенные импульсы определяются, как
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876241_5fe3895071d70233bb7503789ad303db2.png)
Функция Гамильтона определяется согласно
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876186_69d91710373479a59b8217e760f520339.png)
После этого все обобщенные скорости
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876191_7f1facca386c4245a5a7b3dd0dad88e32.png)
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876212_8350860cf68ca8fd18af87b6ee9044fc7.png)
По своей сути функция Гамильтона является энергией системы, выраженной через координаты и импульсы.
В случае стационарных связей и потенциальных внешних сил
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876192_90dfd0193fd0063d9f2de5a2b4409763c.png)
т.е. функция Гамильтона является суммой потенциальной и кинетической энергий, но при этом кинетическая энергия должна быть выражена через импульсы, а не через скорости.
Уравнения эволюции динамической системы записываются в гамильтоновой механике в виде
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876207_10b78148ebedd1a3364a81aef1900efe8d.png)
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876217_118931f955f963fed896e367008612b618.png)
Эти уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Они полностью определяют эволюцию системы с течением времени в том смысле, что зная значение обобщенных координат и скоростей в определенный начальный момент времени, можно определить их значение в любой последующий момент времени, решая данную систему уравнений.
Функция Гамильтона для заряда в электромагнитном поле
Всего сила Лоренца не является потенциальной силой, поскольку зависит от скорости движения заряда. Однако ее можно включить в Гамильтоновы механику записав функцию Гамильтона заряженной частицы в следующей форме:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876262_1284444f3bcb44cd0c43b1a4a30d86731c.png)
где e – заряд частицы,
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876270_133538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png)
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876198_1492555f9439ef4a54fcd65bd62f44f4ee.png)
В релятивистском случае будем иметь:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876206_15339e8e857e201a222cc64c6c1fb781f9.png)
Функция Гамильтона в теории относительности
Функцию Гамильтона в релятивистском случае можно получить путем стандартной процедуры, зная функцию Лагранжа
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876251_16f641723788f91d4c5298143486635c80.png)
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876184_173043f955e725976278803acf72ba56bf.png)
Как видно, ее выражение полностью совпадает с выражением для потенциальной энергии релятивистской частицы, и не зависит в явной форме от импульса. Зная релятивистский импульс, это выражение можно переписать в виде квадратичной формы:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876200_1820e7b341ea49dffffdef41057f99fbe8.png)
из которой и получаем общепризнанный выражение для функции Гамильтона:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876221_190937997b49602d7d0ca4303f5ac053a0.png)
Это выражение для функции Гамильтона широко используется в классической и квантовой механике.
Использование в квантовой механике
В квантовой механике оператор энергии
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876272_2048c7b5ae3524358dcf9070cd360fb753.png)
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876274_21753e8baa1320bbec73e61cb69e673f7d.png)
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876194_229dfd055ef1683b053f1b5bf9ed6dbbb4.png)
Гамильтониан является главным оператором в квантовой механике, поскольку входит в главное уравнения квантовой механики – уравнение Шредингера.
Механический осциллятор
В случае классического механического осциллятора (без трения) функция Гамильтона имеет следующий вид:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876271_233f9a3277b768f1db7b0e0b040a6762f9.png)
где k – коэффициент упругости, а m – масса частицы.
Первое дифференциальное уравнение, равное
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876230_24c7b5900b12a3769bc313e477cc3fc7ac.png)
из которого получаем выражение для импульса:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876205_25b74c7f1c441c28ca5924c0e8fb2a9169.png)
Второе дифференциальное уравнение Гамильтона имеет вид:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876195_26f157e12b9d0c1d54c008c806c0a46bf3.png)
откуда уравнение движения:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876236_274189607e77569426af4d0647191722b1.png)
или в стандартной форме:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876215_289f5a3353707cf3b7cb9bfe980a8b4c3c.png)
Можно также привести значение "действия" на промежутке одного периода колебаний:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876271_290267039b526e04cbda0f167247ec985a.png)
где a – амплитуда колебаний,
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876182_3081c86d240da7250291a80e970c368b33.png)
Электрический осциллятор
Для классического L C – контура функция Гамильтона имеет вид:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876179_31373935dbb7fa48bcb6f9fee46bddbae3.png)
где
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876259_32aac2abbe0b4b364c7f09ab6e8810e21b.png)
Можно также привести значение "действия" на промежутке одного периода колебаний:
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876179_3334d7f4496d6ab268214f566b5bb0db2e.png)
где q 0 – амплитудное значение заряда,
![Механика Гамильтона Механика Гамильтона](/uploads/posts/2011-02/1297876252_3476de72824056f76e97d7103df2426f58.png)
Механика Лагранжа
Уравнение Гамильтона-Якоби
скобки Пуассона
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line1.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line2.png)
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия – часть энергии физической системы, которую она имеет благодаря движения. Кинетическую энергию принято обозначать буквами K или T. В случае частицы с массой m и скоростью
ПОДРОБНЕЕ
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии (рус. закон сохранения энергии; англ. Energy conservation law; нем. Erhaltungssatz n der Energie f, Energieerhaltungsgesetz n, Gesetz n der Erhaltung f der Energie f) –
ПОДРОБНЕЕ
Механика Лагранжа
Механика Лагранжа – один из возможных формулировок классической механики, аналогичное по своей сути законам Ньютона. В физике механика в формулировке Лагранжа оперирует с обобщенными координатами и
ПОДРОБНЕЕ
Статистическая механика
Статистическая механика – раздел физики, который, используя статистический подход теории вероятности, изучает макроскопические свойства физических систем, состоящих из большого числа частиц. Несмотря
ПОДРОБНЕЕ
Интеграл вдоль траекторий
Иллюстрация дерева путей, ведущих из точки A в точку B Интеграл вдоль траекторий – математический оператор, который используется в Фейнмановому формулировке квантовой механики. Формальное определение
ПОДРОБНЕЕ
Гамильтониан
Гамильтониан – оператор энергии в квантовой механике. Его спектр определяет все возможные значения энергии квантовой системы, которые можно получить при измерении. Название гамильтониан, как и
ПОДРОБНЕЕ