Гамильтониан

Гамильтониан – оператор энергии в квантовой механике. Его спектр определяет все возможные значения энергии квантовой системы, которые можно получить при измерении.
Название гамильтониан, как и название функция Гамильтона происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Ровена Гамильтона.
Оператор энергии или гамильтониан – важнейший из всех операторов квантовой механики. Именно он входит в основное уравнение эволюции квантовомеханической системы – уравнения Шредингера.
Спектр гамильтониана определяет возможные значения энергий квантовомеханической системы, а его собственные функции – возможные волновые функции стационарных состояний.
Для построения гамильтониана выходят из классической функции Гамильтона , Заменяя в ней импульсы p i на операторы импульса .
Например, для классического гармонического осциллятора.

,

где x – координата, p – импульс, а ? 0 – частота осциллятора.
Тогда гамильтониан гармонического осциллятора иметь следующий вид:

.

Для свободной частицы массой m в трехмерном пространстве гамильтониан равен

,

где – Оператор Лапласа.
Для частицы массой m в трехмерном пространстве в поле потенциала :



Для электрона в поле электростатического потенциала



Гамильтониан – Эрмита оператор, и вследствие этого его собственные значения действительны, то есть энергия квантомеханичного состояния – действительная величина.
Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным.
Соответственно, собственные функции гамильтониана могут приходить в бесконечности, образуя локализованные состояния или же вести себя как неограниченная волна, образуя делокализованы состояния.
Гамильтониан системы многих частиц одной природы полностью симметричный относительно координат этих частиц (см. принцип Тождественные частицы).