Гармонический осциллятор
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876195_1oscillator.gif)
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876185_27f3189a0f5b105682ac0abb11a11afc7.png)
где q – обобщенная координата гармонического осциллятора, t – время, ? – характерная частота гармонического осциллятора. Две точки над переменной означают вторую производную по времени. Величина q совершающий гармонические колебания.
Задача о гармоничном осциллятор играет центральную роль как в классической, так и в квантовой физике.
Большое количество физических систем ведут себя как гармоничные осциллятора при малом отклонении от равновесия. К ним относятся математический и физический маятники, колебания атомов в молекулах и твердых телах, электрические колебательные контуры и многие другие.
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876179_3height.png)
Энергия, функция Лагранжа и Гамильтона
Кинетическая энергия гармонического осциллятора задается выражением
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876258_42aa7db112e5cde2e38dca3943870c4ea.png)
Потенциальная энергия гармонического осциллятора задается выражением
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876206_58ea325d60c32856ae8ade25bee51aa5c.png)
Соответственно, считая величину q обобщенной координатой, функция Лагранжа гармоничного осцлятора записывается
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876198_6d936f0c4f4351499762e8b8f40b81471.png)
Обобщенный импульс
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876219_7f6c689a1f75f57afc4872c4345e6839c.png)
Функция Гамильтона
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876258_85388d00dcb4281267f730b74974d61db.png)
Вынужденные колебания
Под действием внешней периодической силы с частотой, которая не обязательно совпадает с собственной частотой гармонического осциллятора, осциллятор совершает гармонические колебания, аплитуда которых определяется величиной внешней силы и соотношением внешней частоты и собственной частоты осциллятора.
Вынужденные колебания гармонического осциллятора с частотой ? 0 под действием силы с частотой ?описуються уравнением
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876218_9ed360c3b26d2c089af741be8e7bf2327.png)
где f 0 – амплитуда внешней силы.
Частное решение этого уравнения, описывающий вынужденные колебания имеет вид
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876241_10bda791e8c89bf5b1faf871c965fe3514.png)
Гармоничный осцитор под действием внешней силы совершающий гармонические колебания с амплитудой
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876203_110daa09e6270a97271ed21a683718c772.png)
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876181_120a4fba9a1c077f28b59870dbab617070.png)
Гармонический осциллятор с затуханием
При учете сил трения или сопротивления другого рода, который приводит к диссипации энергии осциллятора и превращении ее в тепло, уравнение гармонического осциллятора меняются. В частности очень распространенный случай, когда силы сопротивления пропорциональны скорости изменения величины q. Тогда уравнение гармонического осциллятора принимает вид
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876211_13ea5e388bd0c0644458be7c10efa34619.png)
Такие колебания затухают со временем по закону
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876241_14a1181ffa68497d65efe978111e7fb818.png)
Вынужденные колебания гармонического осциллятора с затуханием
При действии периодической внешней силы даже при затухании для осциллятора устанавливаются гармонические колебания с амплитудой, зависящей от приложенной силы, соотношение частот, а также от величины затухания.
Амплитуда вынужденных колебаний с учетом затухания определяется формулой
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876195_1522ea2840d182f507daa97eb6c138fb4e.png)
Это конечная величина при всех частотах внешней силы.
Математический маятник при небольшом начальном отклонении от вертикали совершающий гармонические колебания с частотой
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876252_160a73c092bc598b81bb9cd49da3f25b8a.png)
Колебательный контур гармоническим осциллятором, с частотой
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876178_1773780e68fccae5851127406775e49453.png)
где L – индуктивность, C – емкость.
Подробнее см. Квантовый осциллятор.
Спектр собственных значений и собственных функциях
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1297876257_18220px-Schr-harmonic.png)
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876222_193d770bf36871eee46b94e0816a056088.png)
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876186_2085b20efb2c8bca1bc41d7977fb873f88.png)
Спектр гармонического осциллятора находится со стационарного уравнения Шредингера и задается формулой
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876239_21e3020381a2ea1e6be8bab3f461d54a10.png)
Здесь n – квантовое число, пробегает значения от нуля до бесконечности. Энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантных. Характерной особенностью гармонического осциллятора является то, что даже в основном состоянии гармоничный осциллятор имеет отличную от нуля энергию
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876240_22ff3aed59168885e7153647311df22776.png)
Эта низкая энергия называется энергией нулевых колебаний.
Собственные функции гармонического осциллятора, соответствующих квантовому числу n задаются формулами
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876235_2321b5314f049935b6e162d6841e5cba24.png)
где
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876171_24a3cf1b311e479c867af0589f5d517092.png)
При четном n собственные функции гармонического осциллятора парные, при Непрану – нечетные. Гамильтониан гармонического осциллятора коммутирует с оператором замены x на – x (оператором четности), а потому имеет общие собственные функции с этим оператором.
Операторы рождения и уничтожения
Если определить оператор рождения
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876219_25d7ef809f4ab929320c21d1af81cd0f9d.png)
и оператор уничтожения
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876173_2634b583aae8c9db29f2b8c15bf53291ff.png)
то
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876247_27cffc29acd9e433af34e72ea7e223232d.png)
Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют коммутационном соотношению:
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876231_289bea240294572f6c0cc6ca2e10767ccf.png)
Собственные функции гармонического осциллятора тогда имеют вид
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876239_296ea061c393d3ab7b4714457a84aa42ed.png)
или, используя нотацию кет и бра-векторов:
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876253_302121487edf72e6fa4858ab93043b6020.png)
Всего действие оператора рождения на гармоничное оператор в состоянии | n> приводит к переходу в состояние | n +1>:
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876182_3117f3345d9db6d76b25918a976968b793.png)
Действие оператора уничтожения на состояние | n> приводит к переходу в состояние | n-1>:
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876262_32129af727f59d20aacbac952453ceb23a.png)
Оператор
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876246_33b74acd59a0132a3ccbfb122fa0b15856.png)
называют оператором числа частиц, поскольку для него справедливо соотношение.
![Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор](/uploads/posts/2011-02/1297876194_34d796dce558a9b1f13e02777bbcc7cbe8.png)
Правила отбора
При излучении или поглощении фотона разрешенными переходами для гармонического осциллятора есть такие, при которых квантовое число n изменяется на единицу. Учитывая еквидистантнисть уровней, это правило отбора приводит к тому, что, несмотря на бесконечное число уровней, в спектре оптического поглощения или излучения гармонического осциллятора есть только одна линия с частотой ?.
В реальных колебательных спектрах молекул возможны отклонения от этого правила, обусловленные ангармоничнистю реального потенциала межатомного взаимодействия, квадрупольными переходами и т.д.
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line1.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line2.png)
Маятник
Малые колебания маятника являются гармоническими Маятник – тело, свобода движения которого в поле тяготения ограничена подвесом в одной точке. В физике различают математический маятник и физический
ПОДРОБНЕЕ
Акустика
Акустика (от греч. – Слуховой, такой, что слушается), в узком смысле слова – учение о звуке, то есть о упругие колебания и волны в газах, жидкостях и твердых телах, слышимых человеческим ухом
ПОДРОБНЕЕ
Механика Лагранжа
Механика Лагранжа – один из возможных формулировок классической механики, аналогичное по своей сути законам Ньютона. В физике механика в формулировке Лагранжа оперирует с обобщенными координатами и
ПОДРОБНЕЕ
Механика Гамильтона
Гамильтонова механика это одна из формулировок законов механики, в общем аналогичное законам Ньютона, но удобное для обобщений, использование в статистической физике и для перехода к квантовой
ПОДРОБНЕЕ
Гамильтониан
Гамильтониан – оператор энергии в квантовой механике. Его спектр определяет все возможные значения энергии квантовой системы, которые можно получить при измерении. Название гамильтониан, как и
ПОДРОБНЕЕ
Энергия вакуума
Энергия вакуума – энергия пустого пространства, в котором нет никаких частиц. С точки зрения квантовой электродинамики даже в пустом пространстве существуют нулевые колебания электромагнитного поля.
ПОДРОБНЕЕ