Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, которое определяет закон эволюции квантовой системы со временем.

,

где – Волновая функция, H – гамильтониан. Впервые это уравнение было записано Эрвин Шредингер в 1926 году.
Вследствие квантового принципа суперпозиции состояний уравнение, описывающее эволюцию системы, должен быть линейным. Уравнение Шредингера является именно таким.
Уравнение Шредингера НЕ лоренц-инвариантное, т.е. справедливо лишь для частиц, скорость которых намного меньше скорости света. Загальнише уравнения Дирака переходит в уравнение Шредингера при малых скоростях. Поэтому при взаимодействии с магнитным полем (которое является чисто релятивистским явлением) нельзя использовать обычное уравнение Шредингера.
Комплексно сопряженных уравнения

,

совпадает с уравнением Шредингера, если заменить t на – t, а волновую функцию на . Это факт отражает обратимость процессов в квантовой механике.
Для определения волновой функции любой нерелятивистской квантовомеханической системы необходимо решить уравнение Шредингера с начальными условиями

,

где – Определенное начальное значение волновой функции.
Данное условие аналогичная постановке основной задачи классической механики: знание начальных условий и уравнения движения полностью определяет поведение системы в последующие моменты времени. Этот принцип называются квантовым детерминизмом.
В реальном эксперименте приготовить квантовомеханическую систему в состоянии с известной начальной волновой функцией бывает трудно. В случае, когда это сложно, используется другой подход (см. матрица плотности).
Формальный решение уравнения Шредингера



Здесь является не числом, а оператором, который называют оператором эволюции.

Подробнее в статье Стационарное уравнение Шредингера


Если гамильтониан квантовой системы не зажить от времени, уравнение Шредингера можно решить относительно времени методом разделения переменных и получить так называемое стационарное уравнение Шредингера

,

где E – некоторое действительное число, интерпретируют, как энергию. Это уравнение является ривнням на собственные значения. Решая его находят энергетический спектр квантовой системы, т.е. такие значения E, при которых решение существует. Каждому собственному значению E n стационарного уравнения Шредингера соответствует собственная фукнции ? n.
Общее решение временного уравнения Шредингера тогда записывается в виде:

,

где a n – комплексные коэффициенты, можно определить из начальных условий.
В случае, когда гамильтониан квантовой системы зависит от времени, например, при взаимодействии системы с электромагнитной волной, переход к стационарного уравнения Шредингера невозможен. В такой квантовой системе энергия не сохраняется, система может поглощать энергию волны или отдавать ее волны.