Уравнение Ланжевена

Уравнение Ланжевена – стохастическое дифференциальное уравнение, используется в статистической физике для описания процессов со случайными силами, например, броуновское движение.
Исходя из уравнения Ланжевена, для случайных сил с определенными характеристиками можно построить уравнение Фоккера-Планка, задающих эволюцию функции распределения переменной.
Первое уравнение, изученное Полем Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение броуновское частицы с массой m, что выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы по закону Стокса, шумового члена (Название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) – за счет непрерывных столкновений частицы с молекулами жидкости, и – Систематической силы, возникающей при внутришньомомекулярних и межмолекулярных взаимодействиях:







Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.







Будем считать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:








где b – некоторая константа, которую мы определим позже, ? (t 1 – t 2) – дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т.н. дельта-коррелирована случайная величина: ее автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.
Перепишем уравнение в терминах скорости:



v = – lambda v + frac Fm "src =" http://upload.wikimedia.org/math/e/1/e/e1e...8d114f7b5e2.png "/>



где
Пусть в начальный момент времени t = t 0 частица имела скорость v 0. Будем искать решения в виде: v (t) = u (t) exp (- ? t), тогда для u (t) получим следующее дифференциальное уравнение:







В итоге, получаем искомый выражение для скорости:







Из него вытекают два важных соотношения:

. Есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
.

Средний квадрат скорости со временем стремится к значению .
Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента b:







Преобразованием исходного выражения можно получить, что:








Отсюда следует соотношение Эйнштейна:



D = k B T B



где B – подвижность броуновское частицы, а D – коэффициент диффузии.