Математическая логика

Математическая логика является наукой о законах математического мышления. Предметом математической логики есть математические теории в целом, которые изучаются с помощью логико-математических языков. При этом в первую очередь интересуются вопросами непротиворечивости математических теорий, их разрешимости и полноты.
Математическая логика по сути является формальной логике, использующее математические методы. Формальная логика изучает акты мышления (понятия, суждения, умозаключения, доказательства) с точки зрения их формы, логической структуры, абстрагируясь от конкретного содержания. Создателем формальной логики является Аристотель, а первую завершенную систему математической логики на базе строгой логико-математического языка – алгебру логики, – предложил Джордж Буль (1815-1864). Логико-математические языки и теория их смысла развиты в работах Готлоб Фреге (1848-1925), который ввел понятие сущности и кванторов. Это позволило применить логико-математические языки к вопросам основ математики. Изложение целых разделов математики на языке математической логики и аксиоматизации арифметики сделаны Джузеппе Пеано (1858-1932). Грандиозная попытка Г. Фреге и Бертран Рассел (1872-1970) сведение всей математики к логике не достигла основной цели, но привела к созданию богатого логического аппарата, без которого оформление математической логики как полноценного раздела математики было бы невозможно.
На рубеже 19 века-20 ст. были открыты парадоксы, связанные с основными понятиями теории множеств (наиболее известными являются парадоксы Георг Кантор и Б. Рассела). Для выхода из кризиса Л. Брауэр (1881-1966) выдвинул интуиционистську программу, в которой предложил отказаться от актуальной бесконечности и логического закона исключенного третьего, считая допустимыми в математике только конструктивные доказательства. Другой путь предложил Давид Гильберт (1862-1943), который в 20-х годах 20 в. выступил с программой обоснования математики на базе математической логики. Программа Гильберта предусматривала построение формально-аксиоматических моделей (формальных систем) основных разделов математики и дальнейшее доведение их непротиворечивости надежными финитными средствами. Непротиворечивость означает невозможность одновременного вывода некоторого утверждения и его отрицания. Таким образом, математическая теория, непротиворечивость которой хотим доказать, становится предметом изучения определенной математической науки, которую Давид Гильберт назвал метаматематики, или теорией доказательств. Именно с разработки Д. Гильбертом и его учениками теории доказательств на базе развитой в работах Готлоб Фреге и Бертран Рассела логической речи начинается становление математической логики как самостоятельной математической дисциплины.
Сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом растет глубокое проникновение идей и методов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику, философию. Мощным импульсом для развития и расширения области применения математической логики стало появление электронно-вычислительных машин. Оказалось, что в рамках математической логики уже есть готовый аппарат для проектирования вычислительной техники. Методы и понятия математической логики является основой, ядром интеллектуальных информационных систем. Средства математической логики стали эффективным рабочим инструментом для специалистов многих отраслей науки и техники.