Принцип эквивалентности

Принцип эквивалентности – основное утверждение общей теории относительности, по которому наблюдатель не может никоим образом отличить действие гравитационного поля от силы инерции, возникающая в системе отсчета, движущейся с ускорением.
Принцип эквивалентности справедлив благодаря равенства гравитационной и инерционной массы.
Различают слабый принцип эквивалентности и сильный принцип эквивалентности. Разница между ними в том, что слабый принцип – это локальное утверждение, а сильный принцип – это утверждение, касающееся любой точки пространства времени, то есть любого места во Вселенной и любого времени в прошлом или будущем.
Математическая формулировка
Посмотрим, как этот принцип отражается в формулах. Для этого рассмотрим мировую линию материальной точки с массой m. Натуральный параметр этой линии обозначим s, он пропорционален собственному времени материальной точки ?:



где c – скорость света. Разница d s натурального параметра в двух близких точках четырехмерного пространства-времени называется пространственно-временным интервалом. Он связан с приращениями координат следующей формуле:



Единичный касательный вектор ? i к мировой линии является настоящим чотиривектором; он выражается через чотиривектор скорости :



Геодезическая кривизна мировой линии также является настоящим чотиривектором, и равна:



В специальной теории относительности ускорение материальной точки было связано с силой следующей формуле:



Поскольку в специальной теории относительности символы Кристоффеля равны нулю, то мы можем вместо второй производной по времени подставить вектор кривизны k i с соответствующим коэффициентом, и обобщить (5) к следующей тензорной формулы:



Все настоящие силы, кроме силы тяжести и сил инерции, (например электромагнитные силы) собраны в векторе F i. Мимоходом можно увидеть такой интересный геометрический факт: геодезическая кривизна мировой линии (размерность обратная расстояния) равна силе, деленной на энергию покоя:.



Сила притяжения и силы инерции описываются одним слагаемым в формуле (6), связанным с символами Кристоффеля. Перепишем (6), перенеся этот слагаемое в правую часть уравнения, и обозначим эту ненастоящую силу (Эф с Тильдой):



Обратим внимание, что масса m в левой части формулы (6) вынесена за скобки, а потому при разрытии скобок будет одинаковой инерционная масса, которая стоит множителем у ускорения в данной системе координат:



и гравитационная масса, которая стоит множителем в формуле для гравитационной силы:



Ясно, что отделить силу притяжения от сил инерции трудно, особенно в нестационарном гравитационном поле.
Однако мы можем отдельно говорить о силах инерции в случае плоского пространства Минковского, когда тензор Римана тождественно равна нулю. Также мы можем говорить только о силе гравитации и отсутствие сил инерции, если метрический тензор не зависит от времени и на бесконечности переходит в постоянный тензор Минковского: