Волны де Бройля
Волны де Бройля – основной компонент корпускулярно-волнового дуализма Луи де Бройля, который в середине 20-х годов 20-го века попытался построить альтернативную аксиоматическую квантовую теорию отличную от концепции, базирующейся на уравнении Шредингера. Основная мысль де Бройля состоит в распространении основных законов квантовой теории света (вернее излучения Планка – Эйнштейна) на движение материальных частиц определенной массы. С движением всякой свободной частицы, которая имеет энергию E и импульс
, Де Бройль связывает плоскую волну
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937416_27218526d343802d15a2613247bf634c2.png)
где
– Радиус-вектор частицы, свободно движущейся t – время. Частота этой волны ? и ее волновой вектор
связанные с энергией и импульсом частицы такими же уравнениями, справедливы и для квантов света, то есть:
.
Это и есть основные уравнения де Бройля. В отличие от теории квантов света, где шли от волновой концепции до корпускулярной, здесь все протекало наоборот – от корпускулярной – к волновой. То есть здесь мы дополняем корпускулярную теорию элементами волновой, путем введения частоты ? и длины волны
, Связанных с движением частиц.
Подставляя значение для ? и
в выражение для плоской волны, получаем несколько изменен выражение для плоской материальной волны, которая зависит от величины энергии E и импульса p:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937424_731309e44f0570da987eebdec19f0032d.png)
Такую волну и называют волной де Бройля. Вопрос о природе этих материальных волн – не простое … На первый взгляд может показаться, что движение материальных волн не может иметь никакой связи с механическими законами движения частиц. Однако это не так. Чтобы убедиться в этом достаточно рассмотреть свойства волн де Бройля. Ради упрощения рассмотрим движение волны вдоль оси O X (одномерный случай):
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937410_87ee1c332787971b1336856207339b166.png)
Величина t ? – k x представляет собой фазу плоской волны. Можно рассмотреть некоторую точку x, где фаза имеет определенное значение ?. Координата этой точки определяется из уравнения
,
откуда видно, что значение фазы ? будет с течением времени будет перемещаться в пространстве со скоростью u, которую можно получить путем дифференцирования предыдущего уравнения по t:
.
Эта скорость называется фазовой. Если эта скорость зависит от k, а также и от длины волны ? (так как
), То имеет место дисперсия волн. В отличие от электромагнитных волн, для волн де Бройля дисперсия существует и в пустом пространстве (вакуум). Это свойство вытекает из самого определения основных уравнений де Бройля. Действительно, между энергией E и импульсом p существует некая связь. Для скоростей частицы
(C – скорость света), то есть в области справедливости механики Ньютона, энергия частицы, свободно двигается:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937486_13901a1e3852a513bc27cd142fdd9d0c90.png)
где m 0 – масса частицы. Подставляя это значение E в основные уравнения де Бройля и выражая p 2 через k 2, находим:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937401_14256711701a1f5250cf456969fb9e66cb.png)
и значит
есть функция от k.
Теперь можно перейти к установлению связи между движением волны и частицы. Для этого можно рассмотреть не строго монохроматическую волну, которая имеет определенную частоту ? и длину волны
, А почти монохроматическую волну, которую будем называть группой волн. Под группой волн будем понимать суперпозицию волн, которые мало отличаются друг от другом по длине волны и направления распространения. Для простоты можно рассмотреть группу волн, распространяется в направлении O X. Согласно данному определению группы мы можем написать для колебания ? (x, t) следующее выражение:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/thumbs/1294937430_1558a8fc8c1d0fef7e97073db1b37282f5.png)
где
есть волновое число, у которого лежат волновые числа волн, образующих группу (? k предполагается достаточно малым). Вследствие того, что ? k малое, мы можем разложить частоту ?, которая есть функция от k по степеням k – k 0. Тогда получаем:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/thumbs/1294937409_1799c3e20fdb46dbef9f5703f414bb4dcd.png)
.
Взяв k – k 0 в качестве новой переменной интегрирования ? и считая, что амплитуда c (k) есть функция, медленно меняется с k, находим, что ? (x, t) может быть представлена в виде:
.
Выполняя простое интегрирование по ? (x, t), находим:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/thumbs/1294937477_209ed30ce03ece1f922c4d2f021ef489af.png)
Учитывая малость ? k, величина c (x, t) будет медленно изменяться с изменением t и x. Поэтому c (x, t) можно рассматривать как амплитуду почти монохроматической волны, а ? t – k 0 x – как ее фазу. Определим точку x, где амплитуда c (x, t) имеет максимум. Эту точку будем называть центром группы волн. Очевидно, что данный максимум будет находиться в точке
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937452_210cd0383f904d36351101b6a9967e6679.png)
Отсюда следует, что центр группы будет перемещаться со скоростью V, которую можно найти путем дифференцирования предыдущего уравнения по t, т.е.:
). Если бы волны не имели дисперсии, то мы бы имели тривиальный случай V = u. В случае волн де Бройля, учитывая дисперсию, имеем
. Поэтому групповая скорость V здесь будет:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937431_2461d63b619b6de35d2d2c3a7a28aa687e.png)
Однако, поскольку h k = p, а с другой стороны p = m 0 v, где v – скорость частицы. Поэтому мы приходим к важному выводу:
;
что групповая скорость волн де Бройля равна механической скорости частицы v.
Полученные выше соотношения для одномерного пространства, могут быть легко распространены на общий случай движения в трехмерном пространстве:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937408_263354d316adf456cbbd57662fc187ef4b.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937447_276f053789c0c7fd6185f5c3e1a52d9542.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937417_287c77d407d236c7c1690f58f814e9f385.png)
или в векторной форме:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937464_29d1ed1aae535edcf5b4254d79885936e0.png)
Вычислим для двух случаев длину волны де Бройля. Поскольку
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937448_307ade26196bab592a7a373f9a801aa73c.png)
поэтому в случае малых скоростей
с учетом
, Будем иметь:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937404_325949ad29536370c29641424a28d41008.png)
Эта формула позволяет вычисления длины волны ?, зная массу m 0 и энергию частицы E.
Можно использовать эту формулу для электрона. В данном случае при
г выражая энергию в e V (электрон-вольтах), положим E = e V, где e – заряд электрона, а V – ризхниця потенциалов, ускоряющая электрон, которая измеряется в вольтах:
A
Для V = 1 e V получим = 12,2 A (ангстрем), а для V = 10000 e V будет – ? = 0,122 A.
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937447_10dad9ef8dd232ad6f3ee4649e5eb1573.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937416_27218526d343802d15a2613247bf634c2.png)
где
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937494_328ebd9df135b0bcfe8263a7a192aa2f7.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937414_449b252932f19c605cfbb78689e9365ed.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937416_584e4cc924e3ea0c0a1ae68526b8384a0.png)
Это и есть основные уравнения де Бройля. В отличие от теории квантов света, где шли от волновой концепции до корпускулярной, здесь все протекало наоборот – от корпускулярной – к волновой. То есть здесь мы дополняем корпускулярную теорию элементами волновой, путем введения частоты ? и длины волны
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937492_68f2a684f11004f234281cd088b79ed57.png)
Подставляя значение для ? и
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937414_449b252932f19c605cfbb78689e9365ed.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937424_731309e44f0570da987eebdec19f0032d.png)
Такую волну и называют волной де Бройля. Вопрос о природе этих материальных волн – не простое … На первый взгляд может показаться, что движение материальных волн не может иметь никакой связи с механическими законами движения частиц. Однако это не так. Чтобы убедиться в этом достаточно рассмотреть свойства волн де Бройля. Ради упрощения рассмотрим движение волны вдоль оси O X (одномерный случай):
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937410_87ee1c332787971b1336856207339b166.png)
Величина t ? – k x представляет собой фазу плоской волны. Можно рассмотреть некоторую точку x, где фаза имеет определенное значение ?. Координата этой точки определяется из уравнения
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937451_932431ea175051b126759d6a9ee4f1d2d.png)
откуда видно, что значение фазы ? будет с течением времени будет перемещаться в пространстве со скоростью u, которую можно получить путем дифференцирования предыдущего уравнения по t:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937487_10fa4389564725c27425b1fd25be73e24c.png)
Эта скорость называется фазовой. Если эта скорость зависит от k, а также и от длины волны ? (так как
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937438_115c0a4ebd38607d5b08b13beca4ff6fc3.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937413_129d0fad6e3a63c1b95af4e5c96df0ae1c.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937486_13901a1e3852a513bc27cd142fdd9d0c90.png)
где m 0 – масса частицы. Подставляя это значение E в основные уравнения де Бройля и выражая p 2 через k 2, находим:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937401_14256711701a1f5250cf456969fb9e66cb.png)
и значит
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937487_10fa4389564725c27425b1fd25be73e24c.png)
Теперь можно перейти к установлению связи между движением волны и частицы. Для этого можно рассмотреть не строго монохроматическую волну, которая имеет определенную частоту ? и длину волны
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937438_115c0a4ebd38607d5b08b13beca4ff6fc3.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/thumbs/1294937430_1558a8fc8c1d0fef7e97073db1b37282f5.png)
где
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937483_16916d3e91df1b3c8b6b9ed45d30e467cb.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/thumbs/1294937409_1799c3e20fdb46dbef9f5703f414bb4dcd.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937461_18080b8da143367f93c137363619bb069c.png)
Взяв k – k 0 в качестве новой переменной интегрирования ? и считая, что амплитуда c (k) есть функция, медленно меняется с k, находим, что ? (x, t) может быть представлена в виде:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/thumbs/1294937497_19b3011477ebe52323210497bf58deb483.png)
Выполняя простое интегрирование по ? (x, t), находим:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/thumbs/1294937477_209ed30ce03ece1f922c4d2f021ef489af.png)
Учитывая малость ? k, величина c (x, t) будет медленно изменяться с изменением t и x. Поэтому c (x, t) можно рассматривать как амплитуду почти монохроматической волны, а ? t – k 0 x – как ее фазу. Определим точку x, где амплитуда c (x, t) имеет максимум. Эту точку будем называть центром группы волн. Очевидно, что данный максимум будет находиться в точке
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937452_210cd0383f904d36351101b6a9967e6679.png)
Отсюда следует, что центр группы будет перемещаться со скоростью V, которую можно найти путем дифференцирования предыдущего уравнения по t, т.е.:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937459_22c9d6904f0b2492b5722bab241c78db9d.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937435_2327bb8eeb4dbd638c3d7018a3c3b6180b.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937431_2461d63b619b6de35d2d2c3a7a28aa687e.png)
Однако, поскольку h k = p, а с другой стороны p = m 0 v, где v – скорость частицы. Поэтому мы приходим к важному выводу:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937477_2563e75ce6ec891f3e69741fc4821ab58e.png)
что групповая скорость волн де Бройля равна механической скорости частицы v.
Полученные выше соотношения для одномерного пространства, могут быть легко распространены на общий случай движения в трехмерном пространстве:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937408_263354d316adf456cbbd57662fc187ef4b.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937447_276f053789c0c7fd6185f5c3e1a52d9542.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937417_287c77d407d236c7c1690f58f814e9f385.png)
или в векторной форме:
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937464_29d1ed1aae535edcf5b4254d79885936e0.png)
Вычислим для двух случаев длину волны де Бройля. Поскольку
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937448_307ade26196bab592a7a373f9a801aa73c.png)
поэтому в случае малых скоростей
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937484_3159c90c9185efe46251c933328963a29f.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937486_13901a1e3852a513bc27cd142fdd9d0c90.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937404_325949ad29536370c29641424a28d41008.png)
Эта формула позволяет вычисления длины волны ?, зная массу m 0 и энергию частицы E.
Можно использовать эту формулу для электрона. В данном случае при
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937461_3389eb910ade375d94346c27b2e7a2cee8.png)
![Волны де Бройля Волны де Бройля](/uploads/posts/2011-01/1294937410_34f8311c77253321e9372b8ebb6551db98.png)
Для V = 1 e V получим = 12,2 A (ангстрем), а для V = 10000 e V будет – ? = 0,122 A.
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line1.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line2.png)
Уравнения Дирака
Уравнения Дирака – релятивистское квантовомеханическая уравнение, описывающее частицу со спином 1 / 2. Предложенное Полем Дираком в 1928 году. Уравнения Дирака для вектора состояния ? свободной
ПОДРОБНЕЕ
Вектор состояния
Вектор состояния – совокупность характеристик, однозначно определяют состояние квантовой системы. Понятие вектор состояния является обобщением понятия волновой функции. Волновая функция, эволюция
ПОДРОБНЕЕ
Свободные частицы
Свободные частицы – термин, употребляемый в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами, а, следовательно имеют только кинетическую энергию. Совокупность свободных
ПОДРОБНЕЕ
Корпускулярно-волновой дуализм
Корпускулярно-волновой дуализм – предложенная Луи де Бройлем гипотеза о том, что любая элементарная частица имеет волновые свойства, а любая волна имеет свойства, характерные для частицы. Гипотеза де
ПОДРОБНЕЕ
Квантовая теория поля
Квантовая теория поля (КТП) – раздел физики, изучающий поведение релятивистских квантовых систем. Математический аппарат КТП – гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и
ПОДРОБНЕЕ
Луи де Бройль
Луи де Бройль (Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7th duc de Broglie; 15 августа 1892 – 19 марта 1987) – французский физик, один из создателей современной квантовой механики. Профессор Парижского
ПОДРОБНЕЕ