Волны де Бройля

Волны де Бройля – основной компонент корпускулярно-волнового дуализма Луи де Бройля, который в середине 20-х годов 20-го века попытался построить альтернативную аксиоматическую квантовую теорию отличную от концепции, базирующейся на уравнении Шредингера. Основная мысль де Бройля состоит в распространении основных законов квантовой теории света (вернее излучения Планка – Эйнштейна) на движение материальных частиц определенной массы. С движением всякой свободной частицы, которая имеет энергию E и импульс , Де Бройль связывает плоскую волну



где – Радиус-вектор частицы, свободно движущейся t – время. Частота этой волны ? и ее волновой вектор связанные с энергией и импульсом частицы такими же уравнениями, справедливы и для квантов света, то есть:

.

Это и есть основные уравнения де Бройля. В отличие от теории квантов света, где шли от волновой концепции до корпускулярной, здесь все протекало наоборот – от корпускулярной – к волновой. То есть здесь мы дополняем корпускулярную теорию элементами волновой, путем введения частоты ? и длины волны , Связанных с движением частиц.
Подставляя значение для ? и в выражение для плоской волны, получаем несколько изменен выражение для плоской материальной волны, которая зависит от величины энергии E и импульса p:



Такую волну и называют волной де Бройля. Вопрос о природе этих материальных волн – не простое … На первый взгляд может показаться, что движение материальных волн не может иметь никакой связи с механическими законами движения частиц. Однако это не так. Чтобы убедиться в этом достаточно рассмотреть свойства волн де Бройля. Ради упрощения рассмотрим движение волны вдоль оси O X (одномерный случай):



Величина t ? – k x представляет собой фазу плоской волны. Можно рассмотреть некоторую точку x, где фаза имеет определенное значение ?. Координата этой точки определяется из уравнения

,

откуда видно, что значение фазы ? будет с течением времени будет перемещаться в пространстве со скоростью u, которую можно получить путем дифференцирования предыдущего уравнения по t:

.

Эта скорость называется фазовой. Если эта скорость зависит от k, а также и от длины волны ? (так как ), То имеет место дисперсия волн. В отличие от электромагнитных волн, для волн де Бройля дисперсия существует и в пустом пространстве (вакуум). Это свойство вытекает из самого определения основных уравнений де Бройля. Действительно, между энергией E и импульсом p существует некая связь. Для скоростей частицы (C – скорость света), то есть в области справедливости механики Ньютона, энергия частицы, свободно двигается:



где m 0 – масса частицы. Подставляя это значение E в основные уравнения де Бройля и выражая p 2 через k 2, находим:



и значит есть функция от k.
Теперь можно перейти к установлению связи между движением волны и частицы. Для этого можно рассмотреть не строго монохроматическую волну, которая имеет определенную частоту ? и длину волны , А почти монохроматическую волну, которую будем называть группой волн. Под группой волн будем понимать суперпозицию волн, которые мало отличаются друг от другом по длине волны и направления распространения. Для простоты можно рассмотреть группу волн, распространяется в направлении O X. Согласно данному определению группы мы можем написать для колебания ? (x, t) следующее выражение:



где есть волновое число, у которого лежат волновые числа волн, образующих группу (? k предполагается достаточно малым). Вследствие того, что ? k малое, мы можем разложить частоту ?, которая есть функция от k по степеням k – k 0. Тогда получаем:




.

Взяв k – k 0 в качестве новой переменной интегрирования ? и считая, что амплитуда c (k) есть функция, медленно меняется с k, находим, что ? (x, t) может быть представлена в виде:

.

Выполняя простое интегрирование по ? (x, t), находим:



Учитывая малость ? k, величина c (x, t) будет медленно изменяться с изменением t и x. Поэтому c (x, t) можно рассматривать как амплитуду почти монохроматической волны, а ? t – k 0 x – как ее фазу. Определим точку x, где амплитуда c (x, t) имеет максимум. Эту точку будем называть центром группы волн. Очевидно, что данный максимум будет находиться в точке



Отсюда следует, что центр группы будет перемещаться со скоростью V, которую можно найти путем дифференцирования предыдущего уравнения по t, т.е.:

). Если бы волны не имели дисперсии, то мы бы имели тривиальный случай V = u. В случае волн де Бройля, учитывая дисперсию, имеем . Поэтому групповая скорость V здесь будет:



Однако, поскольку h k = p, а с другой стороны p = m 0 v, где v – скорость частицы. Поэтому мы приходим к важному выводу:

;

что групповая скорость волн де Бройля равна механической скорости частицы v.
Полученные выше соотношения для одномерного пространства, могут быть легко распространены на общий случай движения в трехмерном пространстве:









или в векторной форме:



Вычислим для двух случаев длину волны де Бройля. Поскольку



поэтому в случае малых скоростей с учетом , Будем иметь:



Эта формула позволяет вычисления длины волны ?, зная массу m 0 и энергию частицы E.
Можно использовать эту формулу для электрона. В данном случае при г выражая энергию в e V (электрон-вольтах), положим E = e V, где e – заряд электрона, а V – ризхниця потенциалов, ускоряющая электрон, которая измеряется в вольтах:

A

Для V = 1 e V получим = 12,2 A (ангстрем), а для V = 10000 e V будет – ? = 0,122 A.