Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла – это основные уравнения классической электродинамики, описывающие электрическое и магнитное поле, созданное зарядами и токами.
В дифференциальной форме уравнения Максвелла выглядят

,


,





.

Уравнения записаны в системе СГС. Здесь – Напряженность электрического поля, – Вектор магнитной индукции, ? – плотность электрического заряда, – Плотность электрического тока, c – скорость света.
В системе СИ учитывается принципиальная неоднородность электромагнитного поля, где для вакуума имеем


,


– Диэлектрическая проницаемость вакуума,
? 0 – магнитная проницаемость вакуума.

поэтому система дифференциальных уравнений Максвелла имеет следующий вид:

,


,



.

Первое уравнение Максвелла (закон Ампера) определяет магнитное поле, созданное током с плотностью или же приведенное переменным электрическим полем.
Второе уравнение Максвелла (закон Фарадея) определяет электрическое поле, возникающее при изменении напряженности магнитного поля.
Третье уравнение Максвелла (теорема Гаусса) утверждает, что не существует монопольных магнитных зарядов.
Четвертое уравнение Максвелла (уравнение Пуассона) утверждает, что вокруг электрических зарядов существует электрическое поле. Это уравнение аналогично закону Кулона.
Согласно легенде, приступая к работе над созданием общей теории электромагнитных явлений, Джеймс Клерк Максвелл решил, что читать только экспериментальные работы. При выводе своих уравнений он опирался на закон Кулона, который определял силу взаимодействия между зарядами, закон Ампера, который определял силу взаимодействия между токами, закон электромагнитной индукции Фарадея, отсутствие экспериментальных данных, которые указывали бы на существование магнитного монополя и математический аппарат, развитый при изучении явлений в области механике и гидродинамике. Электрическое и магнитные поля Максвелл представлял себе, как механические возмущения определенной среды – эфира.
Максвелл впервые опубликовал свои уравнения в 1861 году. В 1864 увидела свет другая его работа, в которой уравнений было восемь, поскольку они включали другие законы, которые сейчас не принято включать в число уравнений Максвелла. В 1884 Хевисайд при помощи Гиббса выбрали первую систему 4-х уравнений и переписали ее в векторной форме, близкой к современной.
В наше время форма записи уравнений Максвелла зависит от системы единиц. Основном физики пользуются приведенной выше форме записи в системе СГСГ. В системе СИ выбрана форма записи, в которой не фигурируют множитель 4? и скорость света с. Идея состояла в том, чтобы записать уравнения Максвелла, как фундаментальные уравнения, в простейшей форме. Однако это привело к появлению лишних множителей в других основных уравнениях, например, законе Кулона. Кроме того напряженности электрических и магнитного полей получили различные размерности, с точки зрения физика является большим недостатком. Поскольку уравнения Максвелла описывают распространение электромагнитных волн, то желательно также, чтобы их скорость (скорость света) входила в уравнение.
Уравнения Максвелла изменяют свой вид при переходе от одной инерциальной системы координат в другую, если правила этого перехода задавать классическими преобразованиями Галилея. Это обстоятельство мало волновала Максвелла и других ученых 19 века, поскольку считалось, что уравнения справедливы лишь в одной системе координат – той, которая связана с неподвижным эфиром.
В 1887 году Лармор нашел преобразования, при которых уравнения Максвелла не меняют вид при переходе от одной неинерциальной системы координат в другую. Эти преобразования были названы преобразованиями Лоренца (Лоренц получил их в приближенном виде немножко раньше). Именно эти преобразования Эйнштейн положил в основу специальной теории относительности, которая отказалась от идеи о существовании эфира. После этого уравнения Максвелла получили статус универсальному закону природы, справедливого в любой системе координат. Однако их интерпретация в корне отличается от идей, на которых Максвелл основывал свой вывод.
Уравнения Максвелла имеют ненулевой решение даже в случае отсутствия токов и зарядов. Этим решением описывается распространение электромагнитных волн. В случае системы СИ широко известное соотношение между электрическим и магнитным полями:

,

из которого можно найти т.н. волновое сопротивление:
,
где – Волновое сопротивление вакуума.
Однако в системе СГС мы имеем следующее соотношение полов:

,

из которого на первый взгляд не следует волновое сопротивление … Известное дело, не следует, поскольку все электромагнитные поля в системе СГС имеют одинаковую размерность. Однако это вовсе не означает, что волновой сопротивление отсутствует в системе СГС! На него тривиально нормированная система уравнений Максвелла. Действительно, волновое сопротивление в системе СГС выглядит так:
,
где , Т.е. имеет размерность обращенную к скорости – с / см.