Метрический тензор

Величины, которые касаются геометрии – это расстояния, длины кривых, площади и объемы (в том числе m-мерные объемы) геометрических фигур, а также углы между векторами, прямыми и т.д. Рассмотрим сначала прямоугольную декартову систему координат в n-мерном пространстве. Как известно из аналитической геометрии, квадрат расстояния между двумя точками A и B дается следующей формулой, которая является обобщением теоремы Пифагора:



где индексами внизу обозначено, к какой точки данная координата относится.
Мы не можем непосредственно распространить формулу (1) на измерение длин кривых (поскольку длина зависит не только от положения двух крайних точек, но и от положения всех промежуточных точек), а также для измерения внутри кривых многообразия (поскольку в них даже не существует декартовой системы координат). Но в обоих этих случаях аналогичную формулу мы можем написать для двух бесконечно близких точек. Обозначим их являются P с координатами [thumb=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298134010_14ee48c746b63b12863830ae5a0b295ae.png[/img] и точка P 'с координатами [img=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298134017_3a84d0b39c8916d8f1f02acc503861134.png[/thumb]. Расстояние между этими точками обозначим d s, тогда формула (1) в новых обозначениях (дифференциалах) перепишется так:

[img=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298133995_42adf6cedc187b5138d1e437aa8c6c1a7.png[/img]

Если от прямоугольной декартовой системы координат перейти в любую другую, в общем случае криволинейную, то вид формулы (2) как суммы квадратов не сохранится. Обозначим координаты новой системы . Тогда дифференциалы старых и новых координат связаны формулами:



и для квадрат а расстояния (2) мы получаем квадратичную форму относительно дифференциалов новых координат:

Sum_ {i = 1} ^ n sum_ {j = 1} ^ n sum_ {k = 1} ^ n left ({ partial x ^ i over partial u ^ j} du ^ j right) left ({ partial x ^ i over partial u ^ k} du ^ k right) = sum_ {j, k = 1} ^ n g_ {jk} du ^ jdu ^ k "src =" http: / / upload.wikimedia.org/math/7/6/9/7694a278a7595f510032fb40e86df89e.png "/>

где коэффициенты g j k равны сумме:



В формулах (3), (4) все суммы берутся по индексам, повторяющиеся в пределах от первого (1) до последнего индекса (n). Поэтому для упрощения вида формул целесообразно в этих формулах не писать знак суммы (правило Эйнштейна). При использовании правила Эйнштейна формула (4) запишется так:



Пусть имеем N-мерный евклидово пространство с координатами . Радиус-вектор точки обозначим через :



Рассмотрим в этом пространстве n-мерный многообразие, заданное параметрически через . Точки многообразиях определяются через некоторые функции радиус-вектора от этих параметров:



Тогда две близкие точки многообразиях образуют вектор смещения:



а квадрат расстояния равен скалярному квадрату вектора смещения:



То есть мы опять получили формулу (6), но коэффициенты даются другими чем (5) по виду, но аналогичными формулам:



Действительно, расписав скалярное произведение в (11) как сумму попарных произведений компонент векторов и . Равенство достигается, когда многообразие является евклидовым пространством, которое помещено сам в себя.
Пусть на многообразии задано еще одну (новую) систему координат , Координаты которой мы обозначим шляпками, чтобы отличить от старой системы координат. Ясно, что существует взаимно-однозначное соответствие между старой и новой системой координат через посредство точек многообразия. А именно, набор каких n чисел задает некоторую точку P на многообразия, а эта точка P имеет координаты в новой системе координат. Это соответствие мы можем записать через набор функций:



выражающие новые координаты через старые. Поскольку это соответствие взаимно-однозначное, то и наоборот, новые координаты можно выразить через старые:



Мы будем считать эти функции дифференцируемы. Тогда дифференциалы этих координат (для двух бесконечно близких точек) связаны формулами:



Подставляя (14) в (6), находим:



и коэффициенты метрики в новой системе координат равны



Из этой формулы мы видим, что коэффициенты метрики образуют дважды ковариантный тензор.
Имея метрический тензор g i j, мы можем вычислять все геометрические характеристики фигур, находящиеся внутри многообразия. Пусть например задан кривую линию в параметрической форме u i = u i (t). Тогда мы можем вычислить длину дуги этой кривой (при изменении параметра t в пределах отрезка [a, b]), тоскуя расстоянии всех соседних точек и переходя к интегралу:



Далее, мы можем вычислять скалярные произведения касающихся многообразия векторов. Пусть заданы два касательные векторы и . Разложим их по базису системы координат:



тогда их скалярное произведение равно:



Имея скалярное произведение, мы можем вычислять длины векторов:



и углы между двумя векторами:



Эту же формулу можно использовать для вычисления угла между двумя кривыми в точке пересечения. Для этого в (21) надо подставить касательные векторы к этим кривых.
Далее, поиск кратчайшего кривой между двумя точками многообразия приводит к уравнению геодезической линии, которое с очевидностью зависит только от метрического тензора g i j и его производных по координатам. Геодезическая линия является аналогом прямой в евклидовом пространстве. С отрезков геодезических мы можем конструировать треугольник и другие закнени и незакрытые ломаные. Умея искать углы между кривыми по формуле (21), мы можем определить углы геодезического треугольника, и как они зависят от длин сторон (формула (17) для геодезических).
Далее, мы можем вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторам и :



где введено обозначение метрической матрешки (смотрите также статью Единичный антисимметричный тензор):



Имея какую гладкую двумерную поверхность F внутри многообразия, мы можем разбить ее на маленькие параллелограммы, и воспользовавшись формулой (22) найти площадь каждого из этих параллелограммов. Добавляя все эти площади, и переходя к интегрированию, мы очевидно можем найти площадь всей поверхности F.
Аналогично мы можем m-мерный объем любого m-мерного подмноговидов ( ), В том числе объем самого многообразия:



где буквой g обозначено определитель метрике метрического тензора:



Аналогично геодезической линии, мы можем рассматривать минимальные многообразия высших размерностей. Например, мы можем "натянуть" минимальную двумерную поверхность на треугольник, составленный из отрезков геодезических – и таким образом вычислить площадь этого треугольника.
Далее, измеряя отрезки геодезических, мы можем говорить о расстоянии между двумя удаленными точками многообразия. Пользуясь понятием расстояния, мы можем рассматривать такие геометрические объекты как шар и гиперсфера внутри многообразиях с центром в какой точке этого многообразия.
Поскольку метрического тензора оказывается достаточно, чтобы вычислять различные свойства фигур внутри многообразия, мы можем абстрагироваться от внешнего евклидова пространства (размерности с одним верхним и одним нижним индексами. В старой системе координат координаты этого тензора образуют единичную матрицу:



Вычислим координаты этого единичного тензора в новой системе координат . Имеем тензорными правилами:



поскольку матрицы перехода между этими системами координат



являются взаимно обратными матрицами.
Формула (27) показывает, что компоненты тензора образуют единичную матрицу не только в старой, а вообще в любой системе координат. Спрашивается, какие еще тензоры мы можем образовать, имея метрический тензор g i j и единичный тензор ? Добавлять эти тензоры покомпонентно мы не можем, поскольку они по-разному изменяются при замене координат. Обратимся к алгебре матриц. Имея матрицу



Можно проверить, что из всех таких функций только прямая пропорциональность и обратная пропорциональность образуют тензор – т.е. правильно изменяются при замене координат:



Ясно, что обратная матрица G - 1 превращается по законам дважды контравариантный тензор. Этот тензор принято обозначать той же буквой g i j, что и метрический тензор g i j, но с двумя верхними индексами и называть обратным метрическим тензором. Из определения имеем:



Метрический тензор вместе со своим обратным позволяет установить эквивалентность между ковариантный и контравариантный тензор. Это осуществляется с помощью формулы опускания индексов из свертку с метрическим тензором, наприкдад:



и поднятия индексов из свертку с обратным метрическим тензором, например:



Поскольку тензоры g i j и g i j взаимно обратные (формула 31), то после последовательного применения двух операций: поднять индекс затем опустить, или наоборот, опустить индекс затем поднять – мы вернемся к оригинальному тензора, который был в начале, например :



Подъема и опускания индексов с помощью метрического тензора называется жонглированием индексами. В результате подъема одного индекса в самом метрического тензора g i j мы получим единичный тензор :



Подняв еще один индекс метрического тензора, мы придем к обратной метрического тензора:



Из формул (35) и (36) мы видим, что с точностью до жонглирования индексов тензоры g i j, и g i j представляют один и тот же тензор. Так что мы совершили разумно, обозначив обращен метрический тензор g i j той же буквой g, что и метрический тензор g i j. Сравним формулы поднятия двух индексов для произвольного тензора a i j и для метрического тензора g i j:



Коваринтна производная тензора дается формулой:



Вычислим сначала ковариантная производную единичного тензора:



Как видим, эта производная равна нулю всегда, не только для символов Кристоффеля, но и для более общего случая коэффициентов аффинной связности. Перейдем теперь к метрического тензора. В охватывающего евклидовом пространстве вторая производная радиус-вектора розгладаеться на касательную к многообразиях составляющую, и на ортогональную :

Mathbf {b} _ {ij} "src =" http://upload.wikimedia.org/math/3/3/1/331...5099a920eb8.png "/>

домножуючы обе части этого уравнения скалярно на вектор , Получаем:



Отсюда имеем для частных производных метрического тензора формулу:



Пользуясь уравнением (42), находим ковариантная производную метрического тензора:



Итак ковариантные производные метрического тензора g i j и единичного равны нулю. Это также означает, что эти тензоры перестановочное со значком ковариантной производной :



Проверим для полноты картины, ковариантная производная обратной метрического тензора g i j также равна нулю:



Метрический тензор g i j можно рассматривать как набор функций от координат . Поскольку мы можем брать различные системы координат для одного и того же многообразия, то мы будем иметь и разный набор функций. Это эквивалентно тому, как мы можем сфотографировать один и тот же предмет под разными ракурсами. В общем случае задача распознать на двух фотографиях один и тот же объект оказывается слишком сложной для компьютера, универсальный алгоритм распознавания еще неизвестен. То же с метрическим тензором – имея два набора функций, мы не можем сразу сказать, представляют ли они один и тот же многообразие в разных системах координат. Но в двух случаях этот анализ оказывается несложным.
Пространство постоянной кривизны
Первый простой случай – это пространство постоянной кривизны, в котором тензор Римана пропорционален метрической матрешке четвертого ранга с постоянным коэффициентом пропорциональности K:



Мы можем проверить для двух наборов функций , И удовлетворяют ли они уравнения (46) с одним и тем же коэффициентом K. Продолжая аналогию с фотографиями, это эквивалентно, что мы имеем две равномерно засвеченные фотографии, все пиксели битмапами равны одному и тому же числу.
Малая деформация системы координат
Второй простой случай – когда система координат смещается на малый вектор v i:



Малость смещение означает, что мы можем разложить функции метрического тензора в ряд Тейлора и ограничиться линейным членом:



Найдем вариацию компонент метрического тензора (разница функций при одних и тех же аргументах):



Подставим (49) в (48):



Далее, запишем формулу замены координат:



Матрицы перехода для функций (47) легко вычисляются:



Раскроем скобки, сохраняя лишь постоянные и линейные по v i слагаемые. После сокращений получаем:



откуда



Эта формула применяется для вывода линеаризованные уравнения Эйнштейна в теории гравитации. Аналогом этого случая в машинной обработке изображений является алгоритм линейного слежения за подвижными объектами по двум смежным кадрах видеокамеры. Данная аналогия лишь концептуальная, формулы получаются различные.
Метрический тензор допускает обобщение, когда мы не обмежуемся действительными положительно-определенными матрицами – Псевдометрика
В псевдометрици большинство формул внутренней геометрии остаются неизменными – и мы можем рассматривать понятие геодезической линии, ковариатного дифференцировки, тензора Римана. Но неопределенность знаков вносит коррективы в интерпретацию этих понятий. В частности геодезическая линия не является кратчайшей, и понятие расстояния становится сложнее чем в евклидовом случае (корень из отрицательного числа). Изучение псевдометрикы побуждается свойствами физического пространства, в котором мы живем – смотрите статью Метрика пространства-времени