Многообразие

Многообразие – это объект, который локально имеет характер метрического пространства размерности n. Он имеет целочисленных размерность, которая указывает сколькими параметрами (координатами) можно описать окрестность произвольной точки многообразия. Идея многообразия заключается в том, что геометрия гладкой поверхности «в малом», т.е. в окрестности каждой ее точки, напоминает геометрию Евклидовой плоскости. Формально: n-мерный многообразие – это хаусдорфовой топологическое пространство в котором любая точка x имеет окрестность Гомеоморфный открытой n-мерный пули:



Задача топологического отображения f x, называемых картами (вроде карт земной поверхности), является частью структуры многообразия, а совокупность всех карт называется атласом. Если выполняется дополнительное требование, что разные карты согласованы между собой дифференцируемых образом, а именно, если отображения между достаточно малыми открытыми множествами n-мерного евклидова пространства (определены лишь для некоторых пар (x, y)) не только непрерывные, но и гладкие, то имеем дело с гладким многообразием.
Многообразия высших размерностей обобщают линии и поверхности, хотя обычная воображение тут уже не работает.



Задание метрического тензора g i j позволяет находить расстояние между двумя бесконечно близкими точками, а также интегрировать (скалярное поле) по подмноговидов, например вдоль кривых, проходящих внутри многообразия, или по объему самого многообразия.
Интегрировать векторные и тензорные поля так просто, как скаляр, нельзя – через некомутативнисть параллельного переноса векторов (если тензор внутренней кривизны ненулевой). Например, мы не можем точно вычислять полную силу, действующую на протяжное тело в общей теории относительности.
Если скаляр везде равна единице, то мы можем находить длины кривых и k-мерные объемы k-мерных подмноговидов ( , Где n – размерность многообразиях). Особый интерес представляют подмноговидов минимального объема, в частности короткая линия, соединяющая две точки многообразиях (геодезическая линия).
В окрестности любой точки многообразиях можно задать почти декартовы координаты такие, что начало координат будет в этой точке, метрический тензор будет единичным, и все первые производные метрического тензора (или, что эквивалентно, все символы Кристоффеля) равны нулю. Вторые же производные можно сделать нулевыми далеко не всегда, для этого необходимо (и достаточно), чтобы тензор Римана равен нулю. Если тензор Римана тождественно равна нулю в некоторой связной области многообразия, то в этой области можно построить декартовы координаты (с метрическим тензором равной единичной матрицы g i j = ? i j), следовательно внутренняя геометрия такого многообразия совпадает с геометрией евклидова пространства ( хотя при взгляде сверху этот многообразие может быть, например, цилиндром).
Рассмотрение кривизны многообразиях оказывается гораздо проще для гиперповерхонь, когда многообразие вложенный в евклидово пространство на единицу большей размерности. Практически важным случаем гиперповерхности является двумерные многообразия в трехмерном пространстве.