Алгебраическая система

Алгебраическая система (алгебраическая структура – множество G с заданным на нем набором операций и отношений, удовлетворяющим некоторой системе аксиом.
Основной задачей абстрактной алгебры является изучение свойств аксиоматически заданных алгебраических систем.
Формально: объект где:
Множество называется носителем алгебраической системы. Множества называется сигнатурой алгебраической системы.
Если алгебраическая система не содержит операций, она называется моделью, если не содержит отношений, то – алгеброй.
Если не рассматривают никаких аксиом, которым должны удовлетворять операции, то алгебраическая система называется универсальной алгеброй заданной сигнатуры.
Для алгебраических систем определяют морфизм как отображения, сохраняющие операцию смотри Гомоморфизм). Таким образом определяют категории.
Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то такую алгебраическую систему называют топологической алгебраической системой (например, топологическая группа).
Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, еще коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними и т. д
-Арна операция на – это отражение прямого произведения экземпляров множества в само множество. По определению, нуль-Арна операция – это просто выделенный элемент множества.
Зачастую рассматривают унарные и бинарные операции, как простейшие. Но для нужд топологии, алгебры, комбинаторики изучают операции большей арности, например, теория операдой и алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).
M = магма, Q = Квазигруппа, S = полугруппа,
L = Лупа, N = моноид, G = группа,
d = деления, a = ассоциативность,
e = с единицей, i = существование обратного

Группо-подобные структуры



т.е. уравнение имеет единственное решение




Полугруппа – ассоциативный групоидив:
Группа – моноид с делением или ассоциативная лупа:
Абелева группа – некоммутативная группа:




Операцию в абелевых групп часто называют добавлением (+) а нейтральный элемент – нулем.



Кольцо-подобные структуры



выполняется закон дистрибутивности:.






Кольцо с делением (Тело – кольцо, где ненулевые элементы образуют группу по умножению.
Поле – кольцо с делением.

Модули
Алгебры



Решетки