Алгебраическая топология

Алгебраическая топология (устаревшее название: «комбинаторная топология») – раздел топологии, изучающий топологические пространства путем сопоставления им алгебраических объектов, а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.
Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что алгебраические структуры устроены проще, чем топологические.
Помимо различных гомологов (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмив или K-теория) для алгебраической топологии важные гомотопические группы n (X). Из них главной является 1 (X) – так называемая фундаментальная группа, в отличие от групп всех остальных размерностей которые могут быть неабелевих.
В качестве примера применения методов алгебраической топологии можно привести доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь D n означает замкнутый n-мерная шар, S N – 1 - ее (n – 1)-мерная граница (сфера):
Любое непрерывное отображение f n-мерной шара D n в себя имеет неподвижную точку, т.е. такую точку math> x, что f (x) = x

Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:
Не существует непрерывного отображения g n-мерной шара D n на свою границу S n – 1 такого, что g (x) = x для всех точек границы (что называется ретракции)

Действительно, если в отображении f НЕТ неподвижных точек, то мы можем построить отображение g шара на сферу проведя для каждой точки шара x луч, исходящий из f (x) и проходит через x (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой S n – 1 обозначим через y и положим g (x) = y. Ясно, что полученное отображение является непрерывным, и если x принадлежит сфере, то g (x) = x. Мы получили ретракции шара на сферу, за леммой невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.
Теперь самая большая сложность заключается в доведены леммы. Пусть существует такая ретракция g. Обозначим i – вложение сферы в шар i (x) = x. Имеем:
произведение отображений g i = id – тождественное отображение сферы (Сначала i, затем g). Одним из главных инструментов алгебраической топологии являются так называемые группы гомологии (например, симплициальни или сингулярные). Каждому топологическом пространства X соответствует в каждой размерности n своя абелева группа гомологии H n (X), а каждому непрерывному отображению соответствует гомоморфизм групп, причем произведению отображений f g соответствует произведение гомоморфизм f * g *, а тождественному отображению id соответствует тождественный изоморфизм id *. (На языке теории категорий это означает, что группа гомологии является ковариантных функторов из категории топологических пространств в категорию абелевых групп).
Теперь возвращаемся к нашей леммы. Легко доказать, что, а H n – 1 (D n) = 0. Тогда отображение будет отображением в 0 но, с другой стороны, поскольку g i = id, имеем – есть не нулевым гомоморфизм, изоморфизма, а тождественным. Таким образом, лемма доказана.
Конечно, есть и неалгебраични доказательство теоремы Брауэра, но введение гомологии сразу позволило легко доказать множество утверждений, которые ранее казались несвязанными друг с другом.
Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны еще Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многоранника с числом вершин V, ребер E и граней F имеет место V – E + F = 2.
Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.
Но основную роль в создании алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре – именно ему принадлежат понятия симплициальнои гомологии и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Ейленберг, Серр, Том, Атия, Хирцебрух, Ботт, Адамс Смейл, Милнор, Квиллен, П С. Александров, Колмогорова, Понтрягин, Люстерник, Рохлин, Новиков, Фоменко, Концевич, Воеводский, Перельман.