Теория категорий

Теория категорий – раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими структурами, независимо от внутреннего строения стуктур; абстрагируется от множеств и функций к диаграммам, где объекты связаны морфизма.
Некоторые математики считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для практического применения. В то же время, теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применение в информатике и в теоретической физике.
Понятие категория была введена в 1945 году. Своим происхождением и первичными стимулами развития теория категорий обязана алгебраической топологии. Дальнейшие исследования выявили объединяющую и унифицируя роль понятия категория и связанного с ним понятия функтора для многих разделов математики.
Теоретико-категорная анализ основ теории гомологии привел к выделению в середине 50-х гг 20 века так называемых абелевых категорий, в рамках которых оказалось возможным осуществить основные построения гомологической алгебры. В 60-е гг 20 века определился растущий интерес к неабелевих категорий, вызванный задачами логики, общей алгебры, топологии и алгебраической геометрии. Интенсивное развитие универсальной алгебры и аксиоматическое построение теории гомотопий положили начало различным направлениям исследований: категорного изучению многообразий универсальной алгебры, теории изоморфизмов прямых разложений, теории связанных функторов и теории двойственности функторов. Дальнейшее развитие обнаружил существенное взаимосвязь между этими исследованиями. Благодаря возникновению теории относительных категорий, широко использует технику связанных функторов и замкнутых категорий, была установлена двойственность между теорией гомотопий и теорией универсальных алгебр, основанная на интерпретации категорная определений моноид и комоноида в соответствующих функторов. Другой способ введения дополнительных структур в категориях связан с заданием в категориях топологии и построении категории пучков над топологической категории (так наз. Топосы).
Категория состоит из класса, элементы которого называются объектами категории, и класса, элементы которого называются морфизма категории. Эти классы должны удовлетворять следующим условиям:

Каждой упорядоченной паре объектов А, В сопоставлена класс; если, то А называется началом, или областью определения морфизму f, а В – конец, или область значений f.
Каждый морфизм категории принадлежит одному и только одному классу.
В классе заданный частичный закон умножения: произведение морфизма и определено тогда и только тогда, когда В = С, и принадлежит классу Hom (A, D). Произведение f и g сказывается.
Справедливый закон ассоциативности: для любых морфизма для которых данные произведения определены.
В каждом классе Hom (A, A) определен такой морфизм i d A, что для; морфизма i d A называются единичными, тождественными или единицами.


Заметка: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определение) рассматривать категории, в которых морфизм между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру.

Примеры категорий
Все вышеперечисленные категории допускают изоморфное вложение в категорию множеств. Категории, с таким свойством, называются конкретными. Не всякая категория является конкретной, например категория, объектами которой являются все топологические пространства, а морфизм – классы гомотопних отображений.
Коммутативные диаграммы
Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Ассоциативная диаграмма – это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизма или функторы, причем результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:
Категория с объектами X, Y, Z и морфизма f, g

Двойственность
Для категории можно определить двойственную категорию, в которой:
Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойное явление обозначается тем же термином с приставкой ко-(см. примеры ниже).
Справедлив так принцип двойственности: утверждение г истинно в теории категорий тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное утверждение г *. Многие понятия и результатов в математике оказались двойственным друг другу с точки зрения понятий теории категорий: иньективнисть и сюрьективнисть, многообразия и радикалы в алгебре и т. д.
Изоморфизм, эндоморфизмы, автоморфизм
Морфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм, что и. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.
Морфизма, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество ендоморфизмив есть моноид относительно операции композиции с единичным элементом.
Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизм, называются автоморфизмов. Автоморфизмов любого объекта образуют группу автоморфизмов по композиции.
Мономорфизм, епиморфизм, биморфизм
Мономорфизм – это морфизм такой, что для любых из следует, что. Композиция мономорфизм является мономорфизм.
Епиморфизм – это такой морфизм, что для любых из следует.
Биморфизм – это морфизм, являющийся одновременно мономорфизм и епиморфизмом. Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм является изоморфизмом.
Мономорфизм, епиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективные, сюръективным и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизм и епиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.
Инициальные и терминальный объекты
Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории – это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.
Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.
Двойственным образом определяется терминальный объект – это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество, терминальным – множество из одного элемента.
Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают – это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов
Произведение объектов A и B – это объект с морфизма и такими, что для любого объекта C с морфизма и существует единственный морфизм такой, что. Морфизма и называются проекциями.
Дуально определяется прямая сумма или кодобуток A + B объектов A и B. Соответствующие морфизма и называются вложениями. Несмотря на свое название, в общем случае они могут и не быть мономорфизм.
Если произведение и кодобуток существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
Примеры
Функторов – отображение категорий, сохраняющих структуру. Точнее
(Ковариантный) функтор ставит в соответствие каждому объекту категории объект категории и каждому морфизму морфизм так, что
Контравариантный функтор, или кофунктор – это функтор из у, т.е. «функтор, который переворачивает стрелки».