Теория множеств

Теория множеств – раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.
Георг Кантор (1845 – † 1918), основатель теории множеств До второй половины 19 века понятие «множества» не рассматривался как математическое («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т. д. – все это чисто бытовые обороты ). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был быть тем или иным «множеством». Например, натуральное число за Кантором следует рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом», который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», который рассматривался им как центрального для математики, Кантор давал весьма размытые определения, вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, что подчеркнуто называл свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позже), а «учением о множествах» (Mengenlehre).
Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему известных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, который считал, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а все остальное – дело рук человеческих »). Однако, некоторые другие математики – в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт – поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.
Однако вскоре выяснилось, что направление Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженное им самим в принципе «сущность математики состоит в ее свободе») несовершенна изначально, а именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.
В начале 20 века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом была продемонстрирована противоречивость наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики.
После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надежной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.
Особенностью аксиоматического подхода является отказ от заложенного в программу Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишенной всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек является некая единая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признается как аксиома континуум-гипотеза, или его отрицание.
Сейчас наиболее распространенной аксиоматической теорией множеств является ZFC – теория Цермело – Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более – о существовании модели для нее) остается нерешенным.
В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как – «x есть элемент множества A»). Среди производных понятий наиболее важными являются следующие:
Над множествами определены следующие операции:
Для множеств определены следующие бинарные отношения: