Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия – это математическая дисциплина применяющая методы математического анализа для изучения гладких кривых, поверхностей и, в общем виде, их n-мерных аналогов, которые называются многообразия. До грунтовых понятий дифференциальной геометрии относятся касательная прямая и плоскость, длина, площадь, а также кривизна линий и поверхностей.
Можно рассматривать многообразие размерности n извне, как подмножество в евклидовом пространстве большей размерности N. Зададим декартову систему координат x 1, x 2, … x N в охватывающего евклидовом пространстве, а сам многообразие параметризуют переменными u 1, u 1, … u n. На примере таких многообразий как круг или сфера, видим, что не всегда можно выбрать такую параметризацию, чтобы взаимно однозначно покрыть ею весь многообразие. Для единичного круга на плоскости имеем:




и при увеличении u на 2 мы повторно параметризуют ту же точку многообразия.
Эту проблему можно обойти, разбив многообразие на куски, частично перекрываются подобно атласа карт Земли. В каждом из кусков вводим свою параметризацию (которую будем также называть системой координат). В областях, перекрываются, мы одновременно две или более системы координат. Основным требованием к формулам дифференциальной геометрии является их инвариантность относительно замены координат на многообразии.
Обозначим радиус-вектор в охватывающего пространстве:
Для точек многообразия этот радиус-вектор зависит от локальных параметров:
Производные радиус-вектора по параметрам: образуют базис в аффинном пространстве, касательном к многообразиях в данной точке. При переходе к другой параметризации (изменения локальной системы координат), имеем новый базис, который выражается через старик по тензорным правилам:



В этой формуле и далее по одинаковым индексам, один из которых находится вверху, а второй внизу,
проводится добавление (правило Эйнштейна, этот процесс называется сверткой по индексам).
Найдем квадрат расстояния d s между двумя близкими точками многообразия:



Величины называются компонентами метрического тензора (с нижними индексами). Совокупность этих величин можно рассматривать как матрицу с детерминантом g = det (g i j). Матрица g i j симметричная и невырожденная, и во всех точках многообразия. Обратная матрица к метрического тензора обозначается той же буквой g i j, но с верхними индексами. Из свойств обратных матриц имеем такие равенства:




Сам метрический тензор и все величины, которые выражаются через его компоненты и их производные, относятся к внутренней геометрии многообразия, поскольку для их определения не нужно выходить в охватывающий евклидово пространство. С помощью метрического тензора можно поднимать и опускать индексы векторов и тензоров. Например можно ввести дуальный базис в касательном аффинном пространстве:



Для скалярных произведений векторов основного и дуального базисов имеем:



Можно также розлядаты произвольный касательный к многообразию вектор и разложить его по базису и по дуальном базиса:



Коэффициенты называются ковариантный координатами вектора, ибо они при изменении системы координат меняются аналогично базисных векторов в формуле (1):



Аналогичные коэффициенты a i называются контравариантный координатами вектора, ибо они превращаются через обратную матрицу перехода, аналогично векторам дуального базиса:



Информацию о кривизну многообразия может быть получена из вторых производных радиус-вектора, поскольку при переходе в соседнюю точки касательные векторы кривого многообразия возвращаются вместе с поворотом касательного аффинного пространства. Разложим вектор охватывающего пространства на две части, параллельную и ортогональную к многообразию:



В этой формуле параллельная часть разложена по базису. Коэффициенты разложения называются символами Кристофеля. Из симметрии второй производной следует, что как символы Кристоффеля так и векторы симметричные по индексам i, j:




Можно найти символы Кристофеля, рассматривая производные от компонентов метрического тензора:



В последней формуле введено обозначение символов Кристофеля с опущенными верхними индескамы:



Из формулы (10) можно найти символы Кристофеля через производные метрического тензора. Для этого запишем формулу (10) еще дважды, переставляя сначала индексы i k а затем j k:




Добавляя (10a) i (10b), и вычитая (10) с учетом симметрии символов Кристофеля по первым двум индексам, получаем:



Итак символы Кристоффеля наряду с метрическим тензором является объектами внутренней геометрии многообразиях:



Найдем, как преобразуется формула (8) при переходе к другой системе координат:
Отсюда имеем для символов Кристофеля:



и для вектора:



Итак символы Кристофеля превращаются не по тензорным правилам (за наличия формуле (14) в слагаемого второй производной), для любой точки многообразия можно выбрать такую систему координат, чтобы в данной точке символы Кристофеля превращались в нуль.
Формулу (8) можно переписать в таком виде:



В этой формуле выражение в левой части называется ковариантной производной (от ковариантного вектора), а сам значок называется "набла". Также в этой формуле введен сокращенное обозначение для частных производных по координатам многообразия:



Из формулы (15) видно, что результатом действия ковариантной производной на вектор тензор второго ранга, поскольку эта величина () изменяется по тензорным правилам при переходе к другой системе координат. Для произвольного ковариантного вектора a i мы получим аналогичный результат:



тоже превращается по тензорным правилам. Этот результат очевиден ввиду того, что как a i так и меняются через одну и ту же матрицу перехода при замене координат. Символы Кристоффеля в определении ковариантной производной компенсируют некоторой степени кривизну заданной (произвольной кривой!) Системы координат. Понятие ковариантной производной можно распространить на произвольные тензоры так, чтобы результатом действия ковариантной производной был тензор на единичку высшего ранга (одним нижним индексом больше), и для производной произведения тензоров и выполнялось обычное для производных правило:



Начнем со скаляра (скалярного поля (u 1, u 2, … u n)). Градиент уже превращается по правилам ковариантного вектора при замене координат:



Поэтому мы берем его на определение ковариантной производной скаляра:. Теперь вычислим ковариантные производную контравариантный вектора (с верхним индексом) v i. Для этого продифференцируем скалярное произведение нашего вектора v i с произвольным ковариантный вектором a i (это произведение является скалярным полем). С одной стороны:



Кроме того:



Отняв от второго выражения первой имеем:



В последнем преобразовании мы сделали нехитрую операцию – переставили местами буквы индексов i и k. Это возможно потому, что содержание свертки по двум одинаковым индексам как суммы, не зависит от того, какой буквой обозначен индекс свертки. Учитывая, что вектор a i произвольный (ниприклад может быть параллельным одной из координатных осей a = 0,0,.. 1,0,.. 0), последнее равенство может выполняться только при таком ознаненни ковариантной производной от контравариантный вектора:



Теперь перейдем к дифференцировке тензоров более высокого ранга. Начнем для примера смешанного тензора второго ранга (с одним верхним и одним нижним индексом). Этот тензор перетворюется при замене координат аналогично произведения двух векторов v i a j. Для произведения векторов имеем:



Так что и для тензора имеем аналогично:



Таким же образом можно получить общую (и немного громоздкий) формулу для дифференцирования тензоров с любым количеством верхних и нижних индексов:



В этой формуле слагаемые с символами Кристоффеля встречаются со знаком плюс для каждого верхнего индекса тензора, и со знаком минус для каждого нижнего индекса тензора.
Теперь, имея общую формулу, найдем ковариантные производную метрического тензора g i j:



Последнюю равенство мы записали, воспользовавшись формулой (10). Таким образом, метрический тензор ведет себя как константа относительно ковариантной производной – в формулах его можно переставлять с наблю (выносить за знак производной)
Рассмотрим кривую линию, лежащую в многообразии. Точки кривой параметризуют натуральным пораметром s. Мы можем смотреть на эту кривую с двух точек зрения. Если взглянуть с многообразия, то каждому значению параметра s соответствует точка многообразия, которая имеет координаты u 1, u 2, … u n, то есть:



Если же смотреть с охватывающего евклидова пространства, то точки кривой задаются радиус-вектором, и мы можем записать единичный касательный вектор к кривой, а также вектор кривизны кривой.
Очевидный связь между этими двумя точками зрения



Найдем касательный вектор кривой:



Итак, как это и очевидно, единичный касательный вектор кривой лежит в касательном аффинном пространстве многообразиях (раскладывается по его базиса), и имеет такие контравариантный координаты:



Теперь Займемся кривин. Имеем:



Вычислим отдельно производную во втором слагаемом:



Итак, снова переименовав индексы, по которым проводится свертка, получаем следующее выражение:



Следовательно вектор кривизны кривой разлагается на два ортогональных между собой векторы: вектор называется геодезической кривин, он причастен к многообразия, а вектор ортогональный к многообразиях и зависит только от направления касательной а не того, как кривая искривляется внутри многообразия. Легко показать, что вектор геодезических кривизны также ортогональный к касательной вектора кривой:



Его контравариантный координаты равны:



Теперь мы можем задаться вопросом, какая линия на многообразии "ровных", т.е. имеет наименьшую кривизну. Имеем:



Есть кривизна линии не может быть меньше кривизну многообразиях в данном направлении. Равенство достигается тогда, когда кривая имеет нулевую геодезическую кривизну:



Считая метрику заданной (т.е. известными функции координат g i j = g i j (u), а следовательно и), мы получаем из (23) систему n обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно n неизвестных функций u 1 (s), u 2 ( s ),… u n (s):



Это уравнение можно решать как задачу Коши, задав начальную точку и единичный вектор направления в этой точке. Это решение всегда существует, если символы Кристоффеля являются ограниченными непрерывными функциями. Решение этого уравнения примем за определение геодезической линии. Мы уже видели два свойства геодезической линии – эта линия имеет нулевую геодезическую кривизну, а также имеет наименьшую кривизну в охватывающего евклидовом пространстве среди всех кривых, лежащих на многообразии и имеют общую касательную. Геодезическая линия имеет еще два важных свойства: во-первых, соприкасающийся вектор переносится параллельно вдоль кривой, а во-вторых, для двух достаточно близких точек на многообразии, найкорошою кривой на многообразии, соединяющей эти точки, является отрезок геодезической линии. О последней свойство надо сказать две оговорки – 1. в псевдо-евклидовом пространстве (скалярный квадрат вектора может быть и положительным и отрицательных) это возможно не так, но даже в евклидовом пространстве я не знаю доказательства положительной определенности квадратичной формы второй вариации 2. первой вариации длины кривой равна нулю на геодезической, как в евклидовом, так и в псевдоевклидовому пространствах. Далее, последнее свойство допускает обобщения на подмноговидов размерности p = 2 … n – 1. А именно мы можем задать "рамку", или край размерности p – 1, и искать многообразие с этим краем, обладающий минимальной "площадь" (подобно мыльной пленке в рамке).
Для кривой на многообразии мы имели:



Как видим, эта величина зависит только от направления единичного вектора i, причем она одинакова для противоположных векторов i и – i, (т.е. зависит только от прямой, на которой лежат эти векторы). Можно рассматривать и не только единичные векторы, в этом случае формула (25) изменится на:



Квадратичную форму называют первой, а g i j v i v j второй.
Как видим, вся информация о кривизну многообразиях содержится в векторах.
Кривизну многообразиях можно заметить изнутри. Очевидно, что внутренняя кривизна должна быть тензорной величиной, чтобы не зависеть от системы координат. Мы имеем два тензорных объекта внутренней геометрии – метрический тензор g i j и ковариантная производную. Ограничиваясь только ими, мы ничего нового не получим, поскольку ковариантная производная метрического тензора равна нулю (), поэтому рассмотрим еще один объект – (произвольное) тензорное поле и будем повторно применять к нему ковариантная производную В случае евклидова пространства производные по различным координатам коммутируют между собой:. Для кривого многообразиях это свойство неверна. Обозначим с помощью квадратных скобок коммутатор ковариантных производных (разницу между произведением и перставленим произведением):



Будем двигаться от простого. Рассмотрим скалярное поле (тензор нулевого ранга).



Как видим, оба слагаемые в последней сумме симметричные по индексам i, j. Поэтому:



Теперь рассмотрим ковариантный вектор a i (тензор первого ранга). Распишем второй ковариантная производную:




В последней сумме мы выделили в начале суммы два слагаемых (каждый из них взято в скобки), которые симметричны по индексам j, k. В последнем слагаемом этой же суммы можно переставить местами индексы s, p по которым проходит свертка. Окончательно имеем для коммутатора:



где введено обозначение:



Поскольку в левой части формулы (27) стоит тензорная величина, и вектор a s является тензором первого ранга, то отсюда следует, что и как только введена величина является тензором. Этот тензор впервые открыл немецкий математик Бернгард Риман (1854).