Дифференциальные уравнения

Визуализация воздушного потока из уравнения Навье-Стокса Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Дифференциальные уравнения – раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.
Теория дифференциальных уравнений – раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко – в физике.
Проще говоря, дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в разных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.
Различают обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Более сложными являются интегро-дифференциальные уравнения.
Сначала дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.
Дифференциальное уравнение называется интегрируемой в квадратурах, если задачу нахождения всех решений связям можно свести к вычислению конечного числа интегралов от известных функций и простых алгебраических операций.
Леонард Эйлер Лагранж Пьер-Симон Лаплас Жозеф Лиувилль Анри Пуанкаре Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727). Ньютон считал этот свой изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».
Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в ступени ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения следует подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинакового степени). Особое значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, для которых формулу знал, например, Виет (1540-1603), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в «ряды Тейлора» все основные элементарные функции (рациональные, радикалы, тригонометрические, экспоненту и логарифм). Это вместе с составленной им таблице первоначальных которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур «за половину четверти часа».
Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональные последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, поскольку он справедливо полагал, что все вычисления в анализе удобнее проводить не с помощью кратных дифференцировок, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными был скорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда. Одним из важнейших достижений Ньютона является его теория солнечной системы, изложенная в «Математических принципах натуральной философии» («Principia») без помощи математического анализа. Обычно считают, что Ньютон открыл с помощью своего анализа закон всемирного тяготения. На самом деле Ньютону (1680) принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбит в поле тяготения по закону обратных квадратов: сам этот закон был указан Ньютону Гуком (1635-1703) и, пожалуй, угадывался еще несколькими учеными.
Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783) и Лагранжа (1736-1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно – теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, поскольку именно с такого уравнения определяются секулярные (возрастные, то есть медленные по сравнению с годичным движением) возбуждение планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возбуждений.
Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809-1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842-1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости детально исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) – так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из наиболее плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой был тесно связан совсем с другими вопросами (алгебры Ли еще раньше рассматривали Симеон Дени Пуассон (1781-1840) и особенно Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851)).
Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854-1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных привела к учреждению современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, сейчас развивается наиболее активно и имеет наиболее важные применения теории дифференциальных уравнений в естествознании.



Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения вида F (t, x, x ', x'',…, x (n)) = 0, где x = x (t) – неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t, штрих означает дифференцирование по t. Число n называется порядком дифференциального уравнения.
Решением (или решением) дифференциального уравнения называется функция, дифференцируется n раз, и удовлетворяет уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одной из развязок нужно наложить на нее дополнительные условия: например, требовать, чтобы решение принимало в определенной точке определенное значение.
Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы розьязання простых ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.
Дифференциальные уравнения в частных производных – это уравнение, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частных производных.
Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

,

где – независимые переменные, а – функция этих переменных.



Нелинейные дифференциальные уравнения – раздел математики, изучающий теорию и способы решения нелинейных уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обычные нелинейные дифференциальные) или нескольких аргументов (нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.
Теория нелинейных дифференциальных уравнений – раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках: механике, физике, термоупругости, оптике.
Нелинейное дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. В самом дифференциальном уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные в нелинейном виде. Нелинейным дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в разных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.
Различают обычные нелинейные дифференциальные уравнения и НЕЛИНЕЙНЫХ дифференциальные уравнения в частных производных.
Нелинейные дифференциальные уравнения возникли из задач нелинейной механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.

,

где m – масса тела, x – его координата, F (x, t) – сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

,

где u = u (x, t) – отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, параметр a задает свойства струны.