Математическая физика

Математическая физика – общее название математических методов исследования и решения дифференциальных уравнений физики. Теория математических моделей физических явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук. Математическая физика тесно связана с физикой в той части, которая касается построения математической модели, и в то же время математическая физика – раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие информационных технологий включаются те математические методы, применяемые для построения и изучения математических моделей, описывающих большие классы физических явлений.
Методы математической физики как теории математических моделей физики начали в кон. XVII в. интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона по созданию основ классической механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие (XVIII – I-я половина XIX века) информационных технологий и их успешное применение к изучению математических моделей огромного объема различных физических явлений связаны с именами Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, П. Лапласа, Ж. Фурье 'е, К. Гаусса, Б. Римана, М. В. Остроградского и др. ученых. Большой вклад в развитие информационных технологий внесли А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов. Со II-й пол. XIX в. методы математической физики успешно применялись для изучения математических моделей физических явлений, связанных с различными физическими полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро-и аэродинамике и других направлений исследования физических явлений в сплошных средах. Математические модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференциальных уравнений с частными производными, получивших название уравнения математической физики. Кроме дифференциальных уравнений математической физики, при описании математических моделей физики применяются интегральные уравнения и интегро-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики. В связи с бурным развитием вычислительной математики особое значение для исследования, математических моделей физики приобретают прямые численные методы, они используют компьютеры, и в первую очередь конечно-разностные методы решения краевых задач, что позволило методами математической физики эффективно решать новые задачи газовой динамики, теории переноса, физики плазмы, в том числе и обратные задачи этих направлений физических исследований.
Теоретические исследования в области квантовой физики и теории относительности, широкое применение компьютеров в различных областях математической физики, включая и обратные (некорректно поставленные) задачи, вызвали значительное расширение используемого математической физикой арсенала математических методов. Наряду с традиционными разделами математики стали широко применяться теория операторов, теория обобщенных функций, теория функций многих комплексных переменных, топологические и алгебраические методы. Это интенсивное взаимодействие теоретической физики, математики и использования компьютеров в научных исследованиях привело к значительному расширению тематики, создание новых классов моделей и подняло на новый уровень современную математическую физику.
Постановка задач математической физики состоит в построении математических моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физических явлений. Такая постановка состоит в выводе уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных или алгебраических), которым удовлетворяют величины, характеризующие физический процесс. При этом исходят из основных физических законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, например количества движения, энергии, числа частиц. Это приводит к тому, что для описания процессов различной физической природы, но имеющих общие характерные черты, оказывается можно применить те же математические модели. Например, математические задачи для простейшего уравнения гиперболического типа

,

полученного Ж. Д'Аламбером (1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются пригодными и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и др. областей физики. Аналогично, уравнение

,

краевые задачи для которого первоначально изучались П. Лапласом (кон. XVIII в) в связи с построением теории тяготения, в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т.п. Каждой математической модели физики соответствует целый класс физических процессов.
Для математической физики характерно также то, что многие общие методы, которые можно использовать для решения задач математической физики, развились из частных способов решения конкретных физических задач и в своем первоначальном виде не имели строгого математического обоснования и достаточной завершенности. Это относится к таким известным методам решения задач математической физики, как методы Ритца и Галеркина, к методам теории возмущений, преобразований Фурье и многим другим, включая метод разделения переменных. Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач стало одним из стимулов для их строгого математического обоснования и обобщения, что приводит в некоторых случаях к возникновению новых математических направлений.
Влияние математической физики на различные разделы математики проявляется и в том, что развитие математической физики, отражающей требования естественных наук и запросы практики, влечет за собой переориентацию направленности исследований в некоторых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач математической физики, связанная с разработкой математических моделей реальных физических явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференциальных уравнений в частных производных. Возникла теория краевых задач, позволившая впоследствии связать дифференциальные уравнения в частных производных, с интегральными уравнениями и вариационными методами.
Изучение математических моделей физики математическими методами не только позволяет получить количественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и дает возможность глубокого проникновения в самую суть физических явлений, выявление скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Стремление к более детальному изучению физических явлений приводит к все большему усложнению математических моделей, описывающих эти явления, в свою очередь делает невозможным применение аналитических методов исследования этих моделей. Это объясняется еще и тем, что математические модели реальных физических процессов являются, как правило, нелинейными, т.е. описываются нелинейными уравнениями математической физики Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием компьютеров. Для типичных задач математической физики применение численных методов сводится к замене уравнений математической физики для функций непрерывного аргумента алгебраическими уравнениями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится ее дискретный аналог. Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоемкий и дорогостоящий физический эксперимент значительно более экономичным математическим (численным) экспериментом. Достаточно полно проведенный математический эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физического эксперимента, выбора параметров сложных физических установок, определения условий проявления новых физических эффектов и т.д. Таким образом численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математических моделей физических явлений. Математическая модель физического явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретических исследований принятой модели с данными экспериментов.
Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач математической физики, когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются выводы по результатам их косвенных физических проявлений. Для математической физики характерно стремление строить такие математические модели, которые не только дают описание и объяснение уже установленных физических закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать еще не установлены закономерности. Классическим примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту ее создания тел Солнечной системы, но и предсказать существование новых планет. Кроме того, новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.