Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: a 2 + b 2 = c 2 Анимационное доказательство теоремы Пифагора Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что она доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого она названа (есть и другие версии, в частности альтернативное мнение, что эта теорема в общем виде была сформулирована математиком-пифагорейцем Гиппасом).
Теорема гласит:



В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.



Обозначив длину гипотенузы треугольника c, а длины катетов как a и b, получим следующую формулу:



Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, которое позволяет определить сторону прямоугольного треугольника, зная длины двух других. Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, которая определяет соотношение между сторонами произвольного треугольника.
Также доказано обратное утверждение (называют также обратной теореме Пифагора):



Для любых трех положительных чисел a, b и c, таких что a ? + b ? = c ?, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.



Визуальное доказательство для треугольника (3, 4, 5) из книги «Чу Пэй» 500-200 до н.э. Историю теоремы можно разделить на четыре части: знание о Пифагоровы числа, знания об отношении сторон в прямоугольном треугольнике, знание об отношении смежных углов и доказательство теоремы.
Мегалитические сооружения около 2500 до н.э. в Египте и Северной Европе, содержат прямоугольные треугольники со сторонами из целых чисел. Бартель Леендерт ван дер Варден высказал гипотезу, что в те времена Пифагоровы числа были найдены алгебраически.
Написанный между 2000 и 1876 до н.э. папирус времен Среднего Египетского царства Berlin 6619 содержит задачу решением которой являются числа Пифагора.
Во время правления Хаммурапи Великого, вивилонська табличка Plimpton 322, написанная между 1790 и 1750 до н.э содержит много записей тесно связанных с числами Пифагора.
В сутрах Будхаяны, которые датируются по разным версиям восьмой или второй веками до н.э. в Индии, содержит Пифагоровы числа выведены алгебраически, формулировка теоремы Пифагора и геометрическое доказательство для ривнобедренного прямоугольного треугольника.
В сутрах Апастамба (около 600 до н.э.) содержится числовое доказательство теоремы Пифагора с использованием вычисления площади. Ван дер Варден считает, что оно было основано на традициях предшественников. Согласно Альбертом Бурко, это оригинальное доказательство теоремы и он предполагает, что Пифагор посетил Араконам и скопировал его.
Пифагор, годы жизни которого обычно указывают 569 – 475 до н.э. использует алгебраические методы расчета пифагоровых чисел, согласно Проклова комментариями к Евклида. Прокл, однако, жил между 410 и 485 годами н.э. Согласно Томасом Гизом, нет никаких указаний на авторство теоремы течение пяти веков после Пифагора. Однако, когда такие авторы как Плутарх или Цицерон приписывают теорему Пифагору, они делают это так, будто авторство широко известно и несомненно.
Около 400 до н. э соответствии Прокла, Платон дал метод расчета пифагоровых чисел, сочетавший алгебру и геометрию. Около 300 до н.э., в Началах Евклида имеем древнейшее аксиоматическое доказательство, которое сохранилось до наших дней.
Написанные где-то между 500 до н.э. и 200 до н.э., китайский математическая книга «Чу Пэй» (? ? ? ?), дает визуальное доказательство теоремы Пифагора, которая в Китае называется теорема гугу (????), для треугольника со сторонами (3, 4, 5 ). Во время правления династии Хань, с 202 до н.э. до 220 н.э. Пифагоровы числа появляются в книге «Девять разделов математического искусства» вместе с упоминанием о прямоугольные треугольники.
Впервые зафиксировано использование теоремы в Китае, где она известна как теорема гугу (????) и в Индии, где она известна как теорема Баскара.
Многие дискутируется была теорема Пифагора открыта один раз или многократно. Бойер (1991) считает, что знания обнаружены в Шульба Сутра могут быть месопотамского происхождения.
Алгебраическое доказательство
Квадраты образуются из четырех прямоугольных треугольников. Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Здесь представлены доказательства основан на теореме существования площади фигуры:

Разместим четыре одинаковые прямоугольные треугольники так, как это изображено на рисунке.
Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов , А развернутый угол – .
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной «a + b», а с другой – сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.










Что и необходимо доказать.
По сходству треугольников
Использование подобных треугольников. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором угол C прямой, как показано на рисунке. Проведем высоту с точки C, и назовем H точку пересечения со стороной AB. Образован треугольник ACH подобен треугольника ABC, поскольку они оба прямоугольные (по определению высоты), и у них общий угол A, очевидно третий угол будет в этих треугольников также одинаков. Аналогично миркуюючы, треугольник CBH также подобен треугольника ABC. С подобия треугольников: Если



тогда



Это можно записать в виде



Если добавить эти две равенства, получим

HB + c times AH = c times (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Другими словами, теорема Пифагора:



Доказательство Евклида
Доказательство Евклида в евклидовых «Началах», теорема Пифагора доказана методом параллелограммов. Пусть A, B, C вершины прямоугольного треугольника, с прямым углом A. Опустим перпендикуляр из точки A на сторону противоположную гипотенузы в квадрате построенном на гипотенузе. Линия делит квадрат на два прямоугольника, каждый из которых имеет такую же площадь, что и квадраты построены на катетах. Главная идея при доказательстве состоит в том, что верхние квадраты превращаются в параллелограммы такой же площади, а потом возвращаются и превращаются в прямоугольники в нижнем квадрате и снова при неизменной площади.

Проведем отрезки CF и AD, получим треугольники BCF и BDA.
Углы CAB и BAG – прямые; соответственно точки C, A и G – коллинеарны. Так же B, A и H.
Углы CBD и FBA – оба прямые, тогда угол ABD равен углу FBC, поскольку оба являются суммой прямого угла и угла ABC.
Треугольник ABD и FBC уровне по двум сторонам и углу между ними.
Поскольку точки A, K и L – коллинеарны, площадь прямоугольника BDLK равна двум площадям треугольника ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Аналогично миркуюючы получим CKLE = ACIH = AC 2
С одной стороны площадь CBDE равна сумме площадей прямоугольников BDLK и CKLE, а с другой стороны площадь квадрата BC 2, или AB 2 + AC 2 = BC 2.

Используя дифференциалы
Использование дифференциалов. Теореме Пифагора можно прийти, если изучать как прирост стороны влияет на ведичину гипотенузы как показано на рисунке справа и применить небольшое вычисления.
В результате прироста стороны a, из подобных треугольников для бесконечно малых приращений



Интегрируя получим



Если a = 0 тогда c = b, так что "константа" – b 2. Тогда



Как можно увидеть, квадраты получен благодаря пропорции между приращениями и сторонами, тогда как сумма является результатом независимого вклада приростов сторон, не очевидно из геометрических доказательств. В этих уравнениях da и dc – соответственно бесконечно малые приращения сторон a и c. Но вместо них мы используем ? a и ? c, тогда предел отношения, если они стремятся к нулю равна da / dc, производная, и также равен c / a, отношению длин сторон треугольников, в результате получаем дифференциальное уравнение.
В случае ортогональной системы векторов имеет место равенство, которую также называют теоремой Пифагора:



Если – Это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.
Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов называется равенства Парсеваля.