Математический анализ

Математический анализ – совокупность разделов математики, опирающихся на понятие функции и на идеи исчисления бесконечно малых. Трудно логически провести границу между математическим анализом и другими разделами математики: по исторической традиции под названием «математический анализ» объединяются дифференциальное и интегральное исчисление, основы теории функций и дифференциальных уравнений и ряд других разделов математики, возникшие в систематической форме в результате работ математиков XVII-XVIII века. Естественным продолжением классического математического анализа является функциональный анализ, в который входят как специальные разделы вариационное исчисление и теория интегральных уравнений, возникших раньше общего функционального анализа. Как раздел математики, математический анализ оформился в конце XVII века, но его аппарат постоянно совершенствуется и развивается.
В истории математики можно условно выделить два основных периода: элементарной и современной математики. Чертой, от которой ведется отсчет эпохи новой (иногда – высшей) математики, стало XVII века. Именно в XVII веке появился математический анализ. К концу XVII в. Исааком Ньютоном, Готфридом Лейбницем и их предшественниками был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, составляет основу математического анализа и даже математическую основу всего современного естествознания.
Движение, переменные и их взаимосвязь окружают нас повсюду. Различные виды движения, их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и т.д. Точная язык и соответствующие математические методы описания и изучения таких величин оказались необходимыми во всех областях знаний примерно как числа и арифметика необходимые для описания количественных соотношений. Поэтому математический анализ стал основой языка и математических методов описания переменных и связей между ними. В наши дни без математического анализа невозможно было бы не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, закономерности развития циклона, но и эффективно управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, ибо все это – динамичные процессы.
Элементарная математика была преимущественно математикой постоянных величин, она изучала главным образом соотношение между элементами геометрических фигур, арифметические свойства чисел и алгебраические уравнения.
Предпосылки появления математического анализа
К концу XVII в. сложилась ситуация когда в математике было накоплено знания о развязки некоторых важных классов задач (например, задачи о вычислении площадей и объемов нестандартных фигур, задача проведения касательных к кривым), а также появились методы решения различных частных случаев. Оказалось, что эти задачи тесно связаны с задачами описания некоторого (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности вычисления его мгновенных характеристик (скорости, ускорения в любой момент времени), а также нахождения пройденного пути при движении, происходит с заданной переменной скоростью. Решение этих задач был необходим для дальнейшего развития физики, астрономии, техники. К середине XVII в. в трудах Декарта и Пьера Ферма были заложены основы аналитического метода координат (так называемой аналитической геометрии), которые позволили сформулировать различные по своему происхождению геометрические и физические задачи общим языком чисел и числовых зависимостей (числовых функций).
Все эти обстоятельства привели к тому, что в конце XVII в. двум ученым Исааку Ньютону и Готфрид Лейбниц, независимо друг от друга, удалось создать математический аппарат для решения указанных задач. В своих работах эти ученые собрали и обобщили отдельные результаты предшественников начиная от Архимеда и заканчивая своими современниками, такими как: Кавальери, Блез Паскаль, Дэвид Грегори, Исаак Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа – новый раздел математики, изучающий различные динамические процессы, т.е. взаимосвязи переменных величин, которые математики называют функциональными зависимостями или функциями.
Вехи развития математического анализа
Понятие функции ввел в XVIII в. Леонард Эйлер. Анализ функций действительной переменной начал набирать признаков отдельного раздела математики, когда Бернард Больцано дал современное определение непрерывности в 1816, хотя работы Больцано не получили широкой известности в 1870-ых. С 1821 Огюстен Коши начал формировать прочное логическое основание под математическим анализом, формулючы его через понятие бесконечно малых. Ему также принадлежат понятия фундаментальной последовательности и основы анализа комплесного переменной. Симеон Пуассона, Жозеф Лиувилль, Жозеф Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения и гармонический анализ. Благодаря вкладу этих и других математиков, таких как Карл Вейерштрасс развился епсилонний подход, который является основой современного математического анализа. Образцом такого подхода является определение предела функции через и.
Внутри XIX века Бернгард Риман развил теорию интегрирования. В дальнейшем матиматикив начало смущать то, что они предполагают существование континуума действительных числел без доказательства. Решая эту проблему, Рихард Дедекинд, Юлиус Вильгельм сконструировал определение иррационального числа как сечение Дедекиндово, таким образом заполнив «пробелы» в рациональных числах и утоворившы полный метрическое пространство: континуум вещественных чисел. Примерно тогда же попытки уточнить теоремы интегрирования по Риману привели к изучению разрывов вещественных функций.
Начали возникать математические чудовища, такие как нигде не непрерывная функция Дирихле, непрерывная, но нигде не дифференцирована функция Вейерштрасса, кривые, полностью заполняют плоскость вроде кривой Пеано. Решая проблемы с такими функциями, Камиль Жордан построил теорию меры Жордана, а Георг Кантор развил интуитивную теорию множеств. В начале 20 века математический анализ был формализован теорией множеств. Анри Лебег решил проблему меры, а Давид Гильберт ввел гильбертово пространство. Возникла идея нормированного векторного пространства, и в 1920-х Стефан Банах начал функциональный анализ.