Функциональный анализ

Функциональный анализ – математическая дисциплина, которая фактически является распространением линейной алгебры на бесконечномерных пространствах. Кроме того, характер вопросов, которые при этом рассматриваются, позволяет считать эту науку частью математического анализа. Предметом исследований в функциональном анализе является функционалы и операторы.
Функциональный анализ как самостоятельная дисциплина развивался на рубеже 19 и 20 века и окончательно сформировался в 20-30 гг 20 века. С одной стороны он развился под влиянием исследования конкретных классов линейных операторов – интегральных операторов и связанных с ними интегральных уравнений, с другой – под влиянием чисто внутреннего развития современной математики с ее желанием обобщить и тем самым познать истинную природу тех или иных закономерностей. Огромное влияние на развитие функционального анализа имела квантовая механика, поскольку в ней физическим величинам, измеряемых соответствуют линейные операторы над пространством состояний физической системы.
1. Понятие пространства. Самыми общими пространствами, фигурирующих в функциональном анализе является топологические векторные пространства. Так называется векторный (линейный) пространство над полем комплексных чисел (или действительных). На пространстве может быть введена метрика – действительная функция от двух аргументов, принадлежащих этому пространству, результатом которой является «расстояние» между этими элементами. Слово расстояние использовано здесь в косвенном смысле. Пространство с метрикой называется метрическим пространством. Также отличают пространства, на которых аксиоматически определена норма элемента – «длина» вектора x, | | x | |. На нормированном пространстве всегда можно ввести метрику в виде f (x, y) = | | xy | |. Также в пространстве можно определить операцию скалярного произведения которую геометрически можно интерпретировать как угол между элементами. Пространства со скалярным произведением называются унитарными. Скалярное произведение порождает норму в пространстве таким образом: | | x | | 2 = (x, x). Пространство который является полным относительно нормы порожденной скалярным произведением этого пространства называется гильбертовом пространстве.
«Измеримость» пространства – максимальное количество линейно независимых элементов в этом пространстве. Безмежновимирний пространство это пространство, в котором для любого натурального числа n существует n линейно независимых элементов.
2. Функционал – это отражение, ставящего в соответствие каждому элементу данного пространства элемент из пространства действительных или комплексных чисел. Важную роль в функциональном анализе играют понятия непрерывных функционалов и линейных функционалов. Пространство всех линейных ограниченных и всюду определенных на пространстве Х функционалов называется сопряженным к X и обозначается Х 'или Х *.
3. Оператор – отображение, ставящее в соответствие элемент одного пространства элемента с другой. L (X, Y) – пространство всех линейных, непрерывных, повсюду определенных в Х операторов. Преимущественно рассматриваются случаи когда X i Y – нормированные или Гильбертовы пространства. Оператор называется сопряженным к оператору А и обозначается А * если (А х, y) = (x, A * y). Очень важным является класс самоспряжених операторов – (A x, y) = (x, A y).