Теория операторов

Теория операторов – раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор – это аналог обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.
Отображение T из векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным оператором, если T (? x + ? y) = ? T (x) + ? T (y) для любых x и y из X и любых скаляров ? и ?. Часто пишут T x вместо T (x). Линейный оператор с нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным, если найдется положительное вещественное число M такое, что для всех . Наименьшая такая константа M, которая удовлетворяет этому условию, называется нормой оператора T и обозначается . Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.
Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается L (X, Y). В случае, когда X = Y пишут L (X) вместо L (X, X). Если H – гильбертово пространство, то обычно пишут B (H) вместо L (H). На L (X, Y) можно ввести структуту векторного пространства через (T + S) x = T x + S x и T (? x) = ? (T x), где , А ? – произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, L (X, Y) превращается в нормированное пространство.
В частности, и для любых и произвольного скаляра ?. Пространство L (X, Y) является банаховым тогда и только тогда, когда Y – Банахово.
Пусть X, Y и Z – нормированные пространства, и . Композиция S и T обозначается T S и называется «произведением» операторов S и T. Заметим, что и . Если X – банахово пространство, то L (X) с введенным выше умножением банаховым алгеброй.
В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:

Спектральная теория изучает спектр оператора.
Классы операторов. В частности, компактные операторы, Фредгольма операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т.д. Изучают также неограниченные операторы и частично определены операторы, в частности замкнутые операторы.
Операторы на специальных нормированных пространствах.
Совокупности операторов (т.е. подмножества L (X)): операторная алгебра, операторные полугруппы и др.
Теория инвариантных подпространств.