Теория операторов
Теория операторов – раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор – это аналог обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.
Отображение T из векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным оператором, если T (? x + ? y) = ? T (x) + ? T (y) для любых x и y из X и любых скаляров ? и ?. Часто пишут T x вместо T (x). Линейный оператор с нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным, если найдется положительное вещественное число M такое, что для всех![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655448_1735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png)
. Наименьшая такая константа M, которая удовлетворяет этому условию, называется нормой оператора T и обозначается
. Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.
Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается L (X, Y). В случае, когда X = Y пишут L (X) вместо L (X, X). Если H – гильбертово пространство, то обычно пишут B (H) вместо L (H). На L (X, Y) можно ввести структуту векторного пространства через (T + S) x = T x + S x и T (? x) = ? (T x), где
, А ? – произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, L (X, Y) превращается в нормированное пространство.
В частности,
и
для любых
и произвольного скаляра ?. Пространство L (X, Y) является банаховым тогда и только тогда, когда Y – Банахово.
Пусть X, Y и Z – нормированные пространства,
и
. Композиция S и T обозначается T S и называется «произведением» операторов S и T. Заметим, что
и
. Если X – банахово пространство, то L (X) с введенным выше умножением банаховым алгеброй.
В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:
Спектральная теория изучает спектр оператора.
Классы операторов. В частности, компактные операторы, Фредгольма операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т.д. Изучают также неограниченные операторы и частично определены операторы, в частности замкнутые операторы.
Операторы на специальных нормированных пространствах.
Совокупности операторов (т.е. подмножества L (X)): операторная алгебра, операторные полугруппы и др.
Теория инвариантных подпространств.
Отображение T из векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным оператором, если T (? x + ? y) = ? T (x) + ? T (y) для любых x и y из X и любых скаляров ? и ?. Часто пишут T x вместо T (x). Линейный оператор с нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным, если найдется положительное вещественное число M такое, что для всех
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655448_1735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png)
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655406_2954433e4bb49b398507e93d9d88c1ce5.png)
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655417_32788e071b64971b7e4edd78982ce711b.png)
Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается L (X, Y). В случае, когда X = Y пишут L (X) вместо L (X, X). Если H – гильбертово пространство, то обычно пишут B (H) вместо L (H). На L (X, Y) можно ввести структуту векторного пространства через (T + S) x = T x + S x и T (? x) = ? (T x), где
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655379_47d03e8f7d118f55757423657125ba259.png)
В частности,
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655468_50e8d0678edd7bf4838d9ef5668eed5ec.png)
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655382_6bc685a0ae0d5b42ddfe848f70a6a27b4.png)
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655379_47d03e8f7d118f55757423657125ba259.png)
Пусть X, Y и Z – нормированные пространства,
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655418_7f0bf4d40e624108b0bb4fa679b41618c.png)
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655433_885c4df493bb59aa787b7736063f6a778.png)
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655425_919abff184cce0562f07259104f4f46a0.png)
![Теория операторов Теория операторов](/uploads/posts/2011-02/1298655428_1033be3d8a8cb9baafa4ecdc07b11c82a9.png)
В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:
Спектральная теория изучает спектр оператора.
Классы операторов. В частности, компактные операторы, Фредгольма операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т.д. Изучают также неограниченные операторы и частично определены операторы, в частности замкнутые операторы.
Операторы на специальных нормированных пространствах.
Совокупности операторов (т.е. подмножества L (X)): операторная алгебра, операторные полугруппы и др.
Теория инвариантных подпространств.
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line1.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line2.png)
Функциональный анализ
Функциональный анализ – математическая дисциплина, которая фактически является распространением линейной алгебры на бесконечномерных пространствах. Кроме того, характер вопросов, которые при этом
ПОДРОБНЕЕ
Гильбертово пространство
Гильбертово пространство (в честь Давида Гильберта) – это банахово пространство (то есть, полный нормированный векторное пространство), в котором определена операция эрмитовых скалярного произведения
ПОДРОБНЕЕ
Эрмита оператор
Линейный оператор в комплексном гильбертовом пространстве называется эрмитовой, если для всех выполняется тождество что записывается также как L = L +. Эрмита операторы играют важную роль в квантовой
ПОДРОБНЕЕ
Момент импульса
Моментом импульса называется векторная величина, характеризующая инерционные свойства объекта, осуществляющего вращательное движение относительно определенной точки (начала координат). Определение
ПОДРОБНЕЕ
Гамильтониан
Гамильтониан – оператор энергии в квантовой механике. Его спектр определяет все возможные значения энергии квантовой системы, которые можно получить при измерении. Название гамильтониан, как и
ПОДРОБНЕЕ
Квантовая теория поля
Квантовая теория поля (КТП) – раздел физики, изучающий поведение релятивистских квантовых систем. Математический аппарат КТП – гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и
ПОДРОБНЕЕ