» » Теория операторов

Теория операторов

Теория операторов – раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор – это аналог обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.
Отображение T из векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным оператором, если T (? x + ? y) = ? T (x) + ? T (y) для любых x и y из X и любых скаляров ? и ?. Часто пишут T x вместо T (x). Линейный оператор с нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным, если найдется положительное вещественное число M такое, что для всех Теория операторовТеория операторов. Наименьшая такая константа M, которая удовлетворяет этому условию, называется нормой оператора T и обозначается Теория операторов. Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.
Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается L (X, Y). В случае, когда X = Y пишут L (X) вместо L (X, X). Если H – гильбертово пространство, то обычно пишут B (H) вместо L (H). На L (X, Y) можно ввести структуту векторного пространства через (T + S) x = T x + S x и T (? x) = ? (T x), где Теория операторов, А ? – произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, L (X, Y) превращается в нормированное пространство.
В частности, Теория операторов и Теория операторов для любых Теория операторов и произвольного скаляра ?. Пространство L (X, Y) является банаховым тогда и только тогда, когда Y – Банахово.
Пусть X, Y и Z – нормированные пространства, Теория операторов и Теория операторов. Композиция S и T обозначается T S и называется «произведением» операторов S и T. Заметим, что Теория операторов и Теория операторов. Если X – банахово пространство, то L (X) с введенным выше умножением банаховым алгеброй.
В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:

Спектральная теория изучает спектр оператора.
Классы операторов. В частности, компактные операторы, Фредгольма операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т.д. Изучают также неограниченные операторы и частично определены операторы, в частности замкнутые операторы.
Операторы на специальных нормированных пространствах.
Совокупности операторов (т.е. подмножества L (X)): операторная алгебра, операторные полугруппы и др.
Теория инвариантных подпространств.

Просмотров: 2880 | 25-02-2011

Похожие статьи:


Функциональный анализ

Функциональный анализ – математическая дисциплина, которая фактически является распространением линейной алгебры на бесконечномерных пространствах. ...

Гильбертово пространство

Гильбертово пространство (в честь Давида Гильберта) – это банахово пространство (то есть, полный нормированный векторное пространство), в котором ...

Эрмита оператор

Линейный оператор в комплексном гильбертовом пространстве называется эрмитовой, если для всех выполняется тождество что записывается также как L = L ...

Момент импульса

Моментом импульса называется векторная величина, характеризующая инерционные свойства объекта, осуществляющего вращательное движение относительно ...

Гамильтониан

Гамильтониан – оператор энергии в квантовой механике. Его спектр определяет все возможные значения энергии квантовой системы, которые можно получить ...

Квантовая теория поля

Квантовая теория поля (КТП) – раздел физики, изучающий поведение релятивистских квантовых систем. Математический аппарат КТП – гильбертово ...
О сайте
Сайт с интересными статьями.
  • бесплатная dle 10.3
  • Авторизация