Гильбертово пространство

Гильбертово пространство (в честь Давида Гильберта) – это банахово пространство (то есть, полный нормированный векторное пространство), в котором определена операция эрмитовых скалярного произведения .
Гильбертово пространство является обобщением к бесконечной размерности как евклидова пространства так и эрмитовых пространства
Норма в гильбертовом пространстве задается через скалярное произведение:




билинийнисть
«Симметричность»
«Позитивно-определенность» для


сесквилинийнисть
«Эрмитовых-симметричность»
«Позитивно-определенность» для

Прегильбертив пространство – векторное пространство со скалярным произведением. Условия полноты пространства нет, поэтому он уже не является банаховым.
Линейное отображение между двумя (комплексными) гильбертовом пространстве называется изометрией, если воне сохраняет (эрмитовых) скалярное произведение, то есть для любых векторов выполняется равенство (L (u), L (v)) = (u, v). С помощью формулы паралелограму, доказывается, что L является изометрией тогда и только тогда, когда оно сохраняет норму, т.е. для любого Изометрия между двумя гильбертовом пространстве, которая биективна, называется изоморфизмом гильбертовых пространств.
1. Пространство l 2, состоящий из квадратично-пидсумовних последовательностей комплексных чисел



с эрмитовой скалярным произведением



является комплексным гильбертовом пространстве. Если ограничиться только последовательностями с действительными членами, то получим настоящий гильбертово пространство. То, что есть ряд совпадает – это неочевидный факт, что требует доказательства. Сходимость ряда вытекает из неравенства Коши-Буняковского, примененной к первым n членов последовательностей и Итак, получаем, что
В курсе функционального анализа приходится также, что пространство l 2 – полный и, таким образом, удовлетворяет всем аксиомам гильбертовом пространства.
2. Гильбертово пространство L 2 [- ?, ?] квадратично-интегрированных по Лебегу функций на отрезке [- ?, ?] образуется из линейного пространства непрерывных комплекснозначних функций на этом отрезке по операции пополнения. Приведем лишь определение эрмитовых скалярного произведения на L 2 [- ?, ?]
В любом гильбертовом пространстве H можно ввести систему координат, обобщающие декартовы координаты на плоскости или в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Это достигается посредством выбора ортонормального базиса в H.
Система векторов гильбертова просторная H, индексируется множеством I, называется ортогональной, если (u i, u j) = 0 для любых и ортонормального, если дополнительно (u i, u i) = 1 для любого Таким образом, ортонормального система состоит из попарно ортогональных векторов гильбертова просторная единичной длины. Система векторов называется полной, если множество их конечных линейных комбинаций – плотная в H. Полная ортонормального система векторов гильбертова пространства H называется ортонормального базисом в H. Полнота ортонормального системы векторов проверяется с помощью равенства Парсеваля, см. ниже. Координаты вектора относительно данного ортонормального базиса – это скаляры Вектор w полностью определен своими координатами и может быть формально разложен по элементам ортонормального базиса:
Сепарабельних Гильбертовы пространства образуют важнейший класс нескинченовимирних гильбертовых пространств. Они могут быть охарактеризованы как такие, в которых можно выбрать ортонормального базис из счетного множества векторов. Оказывается, что за избранием ортонормального базиса любой (нескинченовимирний) сепарабельно гильбертово пространство H становится изоморфным к l 2. Действительно, рассмотрим отображение
которое сопоставляет любом вектора последовательность его координат относительно ортонормального базиса Тогда L – это линейное отображение, и нужно еще убедиться, что оно является изометрией с образом l 2. Эти свойства вытекают из следующей равенства Парсеваля.

Равенство Парсеваля

Предположим, что – Это конечное или счетное ортонормального система векторов в гильбертовом пространстве H. Полнота этой системы эквивалентна выполнению следующей равенства для всех векторов
где сумма распространяется на все элементы данной системы векторов. В любом случае, ряд в левой части этого равенства совпадает и его сумма не превышает по правую часть, этот факт называется неравенства Бесселя.
Равенство Парсеваля впервые появилась в исследовании рядов Фурье непрерывных функций на конечном интервале в таком виде:
где – Коэффициенты Фурье действительной функции [thumb=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298655456_3753634f047e8e583ac02f7c18d98da5a7.png[/img] По элементарным преобразованиями, из этого следует, что комплексные экспоненциальные функции [img=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1298655431_387fe66e9e61ba14f91b846d12b57c1e60.png[/thumb] образуют ортонормального базис в определению выше комплексном гильбертовом пространстве L 2 [- ?, ?].