Скалярное произведение

Скалярное произведение (англ. dot product (англ. scalar product, нем. Skalarprodukt, рус. Скалярное произведение) – математическая операция над двумя векторами. Cкалярний произведение векторов и вычисляется по формуле:



где и являются длинами векторов, а равна косинусу угла между этими векторами. Как и в случае обычного умножения, знак умножения может не писаться: = .
В линейной алгебре понятие скалярного произведения обобщенно. Так, скалярным произведением называется функция, сопоставляет паре элементов векторного пространства элемент с поля, над которым построен векторное пространство. Скалярное произведение двух векторов x и y обозначается как . Возможна и сокращенная форма записи: x y. Также возможно обозначение x T y, что подчеркивает связь с умножением матриц.
Вообще говоря, для пространств существуют различные варианты скалярного произведения. Пространство с определенным скалярным произведением обозначается как прегильбертив пространство. Прегильбертив пространство является обобщением евклидова пространства и позволяет применение геометрических методов для абстрактных элементов.
В линейной алгебре скалярное произведение двух векторов

и

n-мерного евклидова пространства равна сумме произведений координат векторов:

,

т.е. для того, чтобы получить значение скалярного произведения, матрицу-столбец, которая соответствует первому из сомножителей надо транспонировать и умножить на матрицу-столбец Второй вектор по правилам умножения матриц.
Норма векторов
Благодаря скалярном произведении, можно так вычислить норму вектора:



Если пространство евклидово, то:



Вычисление угла
В евклидовом пространстве выполняется следующая равенство:



На основе этого можно вычислить угол между векторами:



Основные свойства
Скалярное произведение вектора на себя неотъемлемый:



Из чего следует что:



есть всегда действительным числом.
Если оба вектора и параллельны, то



Если два вектора и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

.

Если один из векторов – единичный, то скалярное произведение с таким вектором равен длине проекции Второй вектор на прямую, определяемого этим единичным вектором.
Определение стандартного скалярного произведения в пространстве комплексных векторов



Для векторного пространства над полем комплексных чисел стандартный скалярное произведение векторов определяется как отображение, удовлетворяющее следующим условиям:



где черта над комплексным числом обозначает комплексно-сопряженных число.
Другой вариант скалярного произведения можно определить как:



Такое определение основном используется в физике.
Результаты обоих определений есть взаимно-сопряженными комплексными числами. Для скалярного произведения вектора на самого себя, определяющий норму вектора, оба определения дают одинаковый результат.
Свойства
Если L – линейное пространство над полем , А – Комплексно сопряженный к L то билинейная отображения , Или, при отражение называется скалярным произведением.

симметричность:
додатньовизначенисть: и если x = 0


Скалярное произведение в комплексном векторном пространстве V, это эрмитовых додатньовизанчене пивторалинийне отображения и выполняются следующие условия:

пивторалинийнисть:
ермитовисть:
додатньовизначенисть: , И если x = 0. (То, что действительный, вытекает из условия 2)



Действительный или комплексный векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется прегильбертовим.
Стандартный скалярное произведение можно представить как произведение матриц. При этом, вектор представляется в виде матрицы-столбца.
В случае вещественных чисел, скалярное произведение представляется как:



где знаком T сказывается транспонирования матрицы.
В случае комплексных чисел выполняется:



где знаком * сказывается эрмитовых-сопряженная матрица.
Вообще говоря, в случае действительных чисел, каждая симметричная и Положительно определенная матрица A определяет скалярное произведение:

;

аналогично, в случае комплексных чисел каждая эрмитовых Положительно определенная матрица A определяет скалярное произведение:

.