Скалярное произведение
Скалярное произведение (англ. dot product (англ. scalar product, нем. Skalarprodukt, рус. Скалярное произведение) – математическая операция над двумя векторами. Cкалярний произведение векторов
и
вычисляется по формуле:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566267_31a4400c1bcec65ffc08130478030298e.png)
где
и
являются длинами векторов, а
равна косинусу угла между этими векторами. Как и в случае обычного умножения, знак умножения может не писаться:
=
.
В линейной алгебре понятие скалярного произведения обобщенно. Так, скалярным произведением называется функция, сопоставляет паре элементов векторного пространства элемент с поля, над которым построен векторное пространство. Скалярное произведение двух векторов x и y обозначается как
. Возможна и сокращенная форма записи: x y. Также возможно обозначение x T y, что подчеркивает связь с умножением матриц.
Вообще говоря, для пространств существуют различные варианты скалярного произведения. Пространство с определенным скалярным произведением обозначается как прегильбертив пространство. Прегильбертив пространство является обобщением евклидова пространства и позволяет применение геометрических методов для абстрактных элементов.
В линейной алгебре скалярное произведение двух векторов
и ![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566300_1161e2d37747ce85540f221d75a5851ba5.png)
n-мерного евклидова пространства равна сумме произведений координат векторов:
,
т.е. для того, чтобы получить значение скалярного произведения, матрицу-столбец, которая соответствует первому из сомножителей надо транспонировать и умножить на матрицу-столбец Второй вектор по правилам умножения матриц.
Норма векторов
Благодаря скалярном произведении, можно так вычислить норму вектора:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566256_13c7dbef8265c7fd9ce936a52c88abda3d.png)
Если пространство евклидово, то:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566277_1422c00040e1ac4bf2dc2d52fbd8aab2e3.png)
Вычисление угла
В евклидовом пространстве выполняется следующая равенство:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566309_15bdff4d4fb351bdaf14ee8911b61e2743.png)
На основе этого можно вычислить угол между векторами:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566241_1695d92677c9213ff3a403bd3e7c97c51d.png)
Основные свойства
Скалярное произведение вектора на себя неотъемлемый:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566243_17db2e5e3de5b509872ecd085685faee23.png)
Из чего следует что:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566256_13c7dbef8265c7fd9ce936a52c88abda3d.png)
есть всегда действительным числом.
Если оба вектора
и
параллельны, то
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566283_18387b16b55b835e7c7da72e6152749942.png)
Если два вектора
и
взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:
.
Если один из векторов – единичный, то скалярное произведение с таким вектором равен длине проекции Второй вектор на прямую, определяемого этим единичным вектором.
Определение стандартного скалярного произведения в пространстве комплексных векторов
Для
векторного пространства над полем комплексных чисел стандартный скалярное произведение векторов
определяется как отображение, удовлетворяющее следующим условиям:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566321_2464b041fea6e82fd890e0dffef5ec4883.png)
где черта над комплексным числом обозначает комплексно-сопряженных число.
Другой вариант скалярного произведения можно определить как:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566258_2541bc28e17208186fbfb14776aec49757.png)
Такое определение основном используется в физике.
Результаты обоих определений есть взаимно-сопряженными комплексными числами. Для скалярного произведения вектора на самого себя, определяющий норму вектора, оба определения дают одинаковый результат.
Свойства
Если L – линейное пространство над полем
, А
– Комплексно сопряженный к L то билинейная отображения
, Или, при
отражение
называется скалярным произведением.
симметричность:![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566271_311b02bd74dc3640b30879b887e20a6eee.png)
додатньовизначенисть:
и
если x = 0
Скалярное произведение в комплексном векторном пространстве V, это эрмитовых додатньовизанчене пивторалинийне отображения
и
выполняются следующие условия:
пивторалинийнисть:
ермитовисть:![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566320_362b4d50e7431003b0b89a7b51d4c06209.png)
додатньовизначенисть:
, И
если x = 0. (То, что
действительный, вытекает из условия 2)
Действительный или комплексный векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется прегильбертовим.
Стандартный скалярное произведение можно представить как произведение матриц. При этом, вектор представляется в виде матрицы-столбца.
В случае вещественных чисел, скалярное произведение представляется как:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566337_391847b073e695300593ef82fa909a0670.png)
где знаком T сказывается транспонирования матрицы.
В случае комплексных чисел выполняется:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566287_404051e8d9a9ebb3eebae2886ca692f009.png)
где знаком * сказывается эрмитовых-сопряженная матрица.
Вообще говоря, в случае действительных чисел, каждая симметричная и Положительно определенная матрица A определяет скалярное произведение:
;
аналогично, в случае комплексных чисел каждая эрмитовых Положительно определенная матрица A определяет скалярное произведение:
.
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566253_132fdc49edf74bbace2a97623f586a6fb.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566314_2a0fb034c1b175e346f81de6976ee7afa.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566267_31a4400c1bcec65ffc08130478030298e.png)
где
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566263_477cd6593e34c7fefb79a6fffec34426f.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566300_5c8003e657315f8ec1e09e8ddaa136d14.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566330_66f6846c33b56824f5a2c30e0da432098.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566257_7b8b00ad2037e206f77a7c9ef2c58f905.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566259_8a6914198921e375217d891ba549879f1.png)
В линейной алгебре понятие скалярного произведения обобщенно. Так, скалярным произведением называется функция, сопоставляет паре элементов векторного пространства элемент с поля, над которым построен векторное пространство. Скалярное произведение двух векторов x и y обозначается как
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566322_9fdca0bfccc74afcea2729558a4dd8a96.png)
Вообще говоря, для пространств существуют различные варианты скалярного произведения. Пространство с определенным скалярным произведением обозначается как прегильбертив пространство. Прегильбертив пространство является обобщением евклидова пространства и позволяет применение геометрических методов для абстрактных элементов.
В линейной алгебре скалярное произведение двух векторов
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566260_10ccbe5cfb121e53dc8b53ffd446b567ea.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566300_1161e2d37747ce85540f221d75a5851ba5.png)
n-мерного евклидова пространства равна сумме произведений координат векторов:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566307_1227f356531b625f7584021025a5990917.png)
т.е. для того, чтобы получить значение скалярного произведения, матрицу-столбец, которая соответствует первому из сомножителей надо транспонировать и умножить на матрицу-столбец Второй вектор по правилам умножения матриц.
Норма векторов
Благодаря скалярном произведении, можно так вычислить норму вектора:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566256_13c7dbef8265c7fd9ce936a52c88abda3d.png)
Если пространство евклидово, то:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566277_1422c00040e1ac4bf2dc2d52fbd8aab2e3.png)
Вычисление угла
В евклидовом пространстве выполняется следующая равенство:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566309_15bdff4d4fb351bdaf14ee8911b61e2743.png)
На основе этого можно вычислить угол между векторами:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566241_1695d92677c9213ff3a403bd3e7c97c51d.png)
Основные свойства
Скалярное произведение вектора на себя неотъемлемый:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566243_17db2e5e3de5b509872ecd085685faee23.png)
Из чего следует что:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566256_13c7dbef8265c7fd9ce936a52c88abda3d.png)
есть всегда действительным числом.
Если оба вектора
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566253_132fdc49edf74bbace2a97623f586a6fb.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566314_2a0fb034c1b175e346f81de6976ee7afa.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566283_18387b16b55b835e7c7da72e6152749942.png)
Если два вектора
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566268_19fb4766506bcea9e6256be140a411651d.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566245_204c3f26601b06df15ac4f8561f48e7b87.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566280_212d8cee7d8774778635fa73facfca9301.png)
Если один из векторов – единичный, то скалярное произведение с таким вектором равен длине проекции Второй вектор на прямую, определяемого этим единичным вектором.
Определение стандартного скалярного произведения в пространстве комплексных векторов
Для
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566315_22194d9d1ae7e135a37ece8c0f3b3f2368.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566263_2315049e6f044f439682e33a0ee0d334e9.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566321_2464b041fea6e82fd890e0dffef5ec4883.png)
где черта над комплексным числом обозначает комплексно-сопряженных число.
Другой вариант скалярного произведения можно определить как:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566258_2541bc28e17208186fbfb14776aec49757.png)
Такое определение основном используется в физике.
Результаты обоих определений есть взаимно-сопряженными комплексными числами. Для скалярного произведения вектора на самого себя, определяющий норму вектора, оба определения дают одинаковый результат.
Свойства
Если L – линейное пространство над полем
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566241_26ba6a806e26efb8b0d7fa326abdedb160.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566280_278081c54da6296a1bf1f466d04912a058.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566254_28700072e490bf44ca56faa8f6e961ca19.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566309_29abbe332fb8f40b1df7135b3005c258e6.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566254_30a8bae5bd3f2e61b845a4f9795a5dac1d.png)
симметричность:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566271_311b02bd74dc3640b30879b887e20a6eee.png)
додатньовизначенисть:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566251_32b4ec51fd5dfd41463c3b109017dbc5bb.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566327_33da6541f64e1ff2cea3834153bc252a1b.png)
Скалярное произведение в комплексном векторном пространстве V, это эрмитовых додатньовизанчене пивторалинийне отображения
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566279_34648831fbbd23076324c5692b497fa0c5.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566286_35ba62d4671b2565aa119b5d37a7c6df86.png)
пивторалинийнисть:
ермитовисть:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566320_362b4d50e7431003b0b89a7b51d4c06209.png)
додатньовизначенисть:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566240_379ee76c4938a5e3b729415ca021ccb917.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566327_33da6541f64e1ff2cea3834153bc252a1b.png)
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566311_38baf04680ba3a5a354ffca8b6b6901aca.png)
Действительный или комплексный векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется прегильбертовим.
Стандартный скалярное произведение можно представить как произведение матриц. При этом, вектор представляется в виде матрицы-столбца.
В случае вещественных чисел, скалярное произведение представляется как:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566337_391847b073e695300593ef82fa909a0670.png)
где знаком T сказывается транспонирования матрицы.
В случае комплексных чисел выполняется:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566287_404051e8d9a9ebb3eebae2886ca692f009.png)
где знаком * сказывается эрмитовых-сопряженная матрица.
Вообще говоря, в случае действительных чисел, каждая симметричная и Положительно определенная матрица A определяет скалярное произведение:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566276_4186cccb7780043bcc06376cf96176feca.png)
аналогично, в случае комплексных чисел каждая эрмитовых Положительно определенная матрица A определяет скалярное произведение:
![Скалярное произведение Скалярное произведение](/uploads/posts/2011-02/1298566331_4213ce761155c0f34cfc79e00307457086.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line1.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line2.png)
Функциональный анализ
Функциональный анализ – математическая дисциплина, которая фактически является распространением линейной алгебры на бесконечномерных пространствах. Кроме того, характер вопросов, которые при этом
ПОДРОБНЕЕ
Кватернионы
Кватернион – Гиперкомплексные числа, которое реализуется в 4-мерном пространстве. Впервые описано В. Р. Гамильтоном в 1843 году. Кватернион имеет вид где – Действительные числа; – Мнимые единицы,
ПОДРОБНЕЕ
Седенионы
Седенионы – элементы 16-мерной алгебры. Каждый Седенионы – это линейная комбинация элементов 1, e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e 10, e 11, e 12, e 13, e …
ПОДРОБНЕЕ
Гильбертово пространство
Гильбертово пространство (в честь Давида Гильберта) – это банахово пространство (то есть, полный нормированный векторное пространство), в котором определена операция эрмитовых скалярного произведения
ПОДРОБНЕЕ
4-вектор
4-вектор – это аналог трехмерного вектора в четырехмерном пространстве-времени, составленном переменными ct и x, y, z обычного пространства. В этом определении t – время, c – скорость света. При
ПОДРОБНЕЕ
Квантовая теория поля
Квантовая теория поля (КТП) – раздел физики, изучающий поведение релятивистских квантовых систем. Математический аппарат КТП – гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и
ПОДРОБНЕЕ