Кватернионы

Кватернион – Гиперкомплексные числа, которое реализуется в 4-мерном пространстве. Впервые описано В. Р. Гамильтоном в 1843 году.
Кватернион имеет вид где
– Действительные числа;
– Мнимые единицы, удовлетворяющие соотношению

, Из которых вытекают еще и следующие соотношения:

Часто вместо используют обозначение для мнимых единиц соответственно а также возлагают
Еще один, изредка используемый, вариант обозначений:
Кватернионы можно определить через комплексные числа, используя процедуру удвоения Кэли-Диксона.
действительное число называется скалярной частью кватерниона, а – векторной частью.
Если, то кватернион называется чисто скалярным, а при – чисто векторным.
Если то называется единичным кватернионов. Легко проверить, что, т.е. кватернионы имеют мультипликативна норму; из этого соотношения следует так называемая тождество четырех квадратов.
Исходя из вышеприведенных свойств мнимых единиц, нетрудно получить следующие свойства:
С некоммутативности умножения следует, что система кватернионов не является полем. Однако она является телом и, таким образом, не содержит делителей нуля. Тело кватернионов обычно обозначается. Сказанное выше свидетельствует о осуществимость деления в системе кватернионов, но следует различать левое и правое деление.
Кватернион можно представить в виде пара скаляра и 3-мерного вектора:

.

Оказывается, что умножение кватернионов можно записать через скалярный и векторный произведения соответствующих 3-мерных векторов:



При таком подходе чисто векторные кватернионы можно отождествить с 3-мерными векторами. Тогда произведение двух таких кватернионов можно получить, отняв от их векторного произведения их скалярное произведение.
Кватернион может быть представлен в виде матрицы 2 2 с комплексных чисел:




Подробнее в статье Кватернионы и повороты пространства


Иногда указанные в этой статье кватернионы называют действительными кватернионами, рассматривая также комплексные кватернионы, определение которых отличается от приведенного только тем, что – комплексные числа. При этом комплексная единица не отождествляется с кватернионною единицей так что их приходится обозначать по-разному (например, с использованием приведенных выше альтернативных обозначений или выделяя кватернионни единицы жирным шрифтом).