Октонионы

Октонионы (число Кэли) – Гиперкомплексные числа размерности восемь. Октонионы были изучены 1843 ирландским математиком Джоном Грейвзом и независимо, через два года Артуром Кэли. В честь последнего Октонионы довольно часто называют числами Кэли.
Могут быть получены из кватернионов с помощью процедуры удвоения Кэли-Диксона.
Каждый Октонионы x может быть записан в форме линейной комбинации базовых элементов с действительными коэффициентами:



Таблица умножения базовых элементов:
Алгебра октонионов (алгебра Кэли) является 8-мерной неасоциативною, некомутативнои алгеброй над полем действительных чисел. Алгебру Кэли обычно обозначают (аналогично системе рациональных чисел, системе действительных чисел, системе комплексных чисел) Каждая из этих алгебр является расширением предыдущей:
По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной действительной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
Сопряженным к октиона является октион



Выполняется равенство.
Норма Октонионы x по определению равен:



Квадратный корень существует, поскольку x * x = x x * всегда является неотъемлемым действительным числом:



Из существования нормы на вытекает существование обратного элемента для всех ненулевых октонионов.
Обратным к являются:



Выполняются равенства: x x - 1 = x - 1 x = 1.