Гиперкомплексные числа

Гиперкомплексные числа – математические объекты, строящиеся за дальнейшего обобщения понятия о числе после комплексных чисел. Часто под гиперкомплексных системой (то есть системой, элементы которой считаются гиперкомплексными числами) понимают любую конечномерная алгебра над полем. При этом часто накладывают еще дополнительное условие, чтобы это была алгебра над полем действительных или комплексных чисел в первом случае говорят о «настоящую» гиперкомплексные систему, во втором – о «комплексную». Иногда не требуют скинченновимирности. Иногда дополнительно требуют, чтобы система вещественных чисел была подалгебр данной системы или чтобы данная система содержала единичный элемент.
Согласно распространенному определение кольца, в каждом кольце, а следовательно и в алгебре, сбывается ассоциативность умножения. Однако иногда говорят о «неасоциативни кольца» и соответственно о «неасоциативни гиперкомплексные системы». Такие системы очень неудобны для изучения и рассматриваются редко. Вместе с тем отсутствие коммутативности умножения вполне привычное явление для гиперкомплексных систем. Таким образом, гиперкомплексные системы бывают коммутативных и некоммутативными. Другой важный вопрос, в зависимости от ответа на который можно разделить гиперкомплексные системы на две категории: имеет данная система делители нуля? В конечномерных алгебр отсутствие делителей нуля равносильна тому факту, что эта алгебра является телом.
В современном понимании системы действительных и комплексных чисел является частными случаями гиперкомплексных системы, хотя исторически естественно рассматривать такие гиперкомплексные системы, которые являются «сложными» по системе комплексных чисел, в частности, имеют размерность больше 2. Как выяснилось, трехмерные гиперкомплексные системы очень неудобны для изучения, поэтому прежде всего было построено и изучено определенную 4-измеримую гиперкомплексные систему – систему кватернионов. Это пример некомутативнои гиперкомплексных системы без делителей нуля. Несмотря на неудобства, вызванные некомутативнистю, кватернионы во многом похожи на комплексные числа и, вероятно, могут быть названы ближайшие к ним по свойствам и в некоторых смыслах простейшими для изучения из всех собственно гиперкомплексных чисел (здесь и далее слово «собственное» перед прилагательным «гиперкомплексных» означает, что действительные и комплексные объекты исключаются из рассмотрения).
Примеры других из числа наиболее известных гиперкомплексных систем: двумерные – двойных чисел, дуальных чисел четырехмерные – бикомплексних чисел, антикватернионив. Из перечисленных в этом абзаце чисел все, кроме антикватернионив, образуют коммутативные системы, но, кроме того, все эти системы имеют делители нуля. Вообще, согласно теореме Фробениуса, все Конечномерные алгебры над полем действительных чисел без делителей нуля исчерпываются тремя примерами (с точностью до изоморфизма): это системы действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов.
Чтобы задать конечномерная гиперкомплексные систему, достаточно перечислить обозначения для элементов некоторого ее базиса и записать, чему равны все попарные произведения этих элементов (а также указать, над каким полем рассматривается эта алгебра). После этого сумма или произведение произвольных двух элементов системы легко вычисляется с использованием свойств операций кольца и векторного пространства. Например, задавая с такой точки зрения комплексные числа, достаточно сказать, что это алгебра над полем действительных чисел, базис которой состоит из элементов 1 и, удовлетворяющие соотношению:
Впрочем, если в базис входит 1 (единица), то сведений о ней можно не приводить, считая ее стандартным обозначением единичного элемента и даже отождествляя с действительным числом 1: ее произведение с любой стороны на любой элемент равен этому элементу.
В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон предложил упомянутую выше систему кватернионов, которая стала исторически первой собственно гиперкомплексных системой. Поиски такой системы были обусловлены тем, что умножение комплексных чисел описывает повороты на плоскости, и возникало желание найти нечто аналогичное для поворотов в трехмерном пространстве. Этого какой-то мере удалось достичь с помощью кватернионов. Теория кватернионов вскоре стала одним из источников развития таких понятий, как векторный и скалярный произведения векторов.
Сначала изобретение кватернионов и других гиперкомплексных чисел было воспринято как событие, сравнимое по значимости с изобретением комплексных чисел, что побудило математиков к весьма активных исследований в этой области. Особенно ощутимый вклад сделал уже упомянутый выше немецкий математик Ф. Г. Фробениус.
Однако довольно быстро интерес к этой тематике спал, потому что роль собственно гиперкомплексных чисел оказалась не столь важной, как роль комплексных чисел. Так что дальнейшее развитие в этой области происходило достаточно медленно и эпизодически. Относительно исследований этого периода, можно, например, отметить, что в 1940-х годах выходили статьи канадско-американского математика Ивана Найвен (Ivan Niven, 1915-1999), в которых исследовались различные свойства кватернионов, например, относительно извлечения из них корней.
Однако в последнее время наблюдается активизация исследований, связанных с гиперкомплексными числами. Достаточно мощные ячейки такой активности является, например, в Бельгии, Польше, Болгарии, США, Мексике, России. Сторонники таких исследований обращают внимание на то, что некоторые математические утверждения приобретают значительно более простому виду или значительно легче доказываются, если записать их на языке действий над кватернионами или другими гиперкомплексными числами. Однако сегодня очень значительное количество и таких математиков, которые считают, что пользы от исследований гиперкомплексных систем немного.
Украинские исследователи
Прежде всего следует вспомнить, что некоторое время этой тематикой занимался Ю. М. Березанский: такая деятельность началась в 1950-х годах под руководством М. Г. Крейна, позже (1982) вышла брошюра Ю. М. Березанского и А. А. Калюжного « Гиперкомплексные системы с локально компактным базисом », а еще позже (1992) – монография тех же авторов« гармонический анализ в гиперкомплексных системах ». Оба автора – сотрудники отдела функционального анализа Института математики НАНУ, так что исследования проходили с точки зрения функционального анализа. Следовательно эти исследования носили очень абстрактный характер. Рассматриваемые при этом гиперкомплексные системы могли быть бесконечномерных и даже несметные измеримыми. Исследование Березанского нашли свое применение в гармоническом анализе. Абстрактность рассматриваемых при этом гиперкомплексных систем существенно отличает их от всех исследований, о которых говорится ниже.
В Киевском Институте проблем регистрации информации НАН Украины Синьков М.В. и его команда занимаются такими исследованием гиперкомплексных числовых систем (ГЧС), которые позволяют применять эти системы в компьютерной томографии, цифровой фильтрации, криптографии. Последние исследования проводятся в попытке связать упомянутые выше гиперкомплексные системы Березанского и обычные ГЧС.
Другой очаг гиперкомплексных исследований зародился в отделе комплексного анализа и теории потенциала того же Института математики: ныне покойный сотрудник этого отдела И. П. Мельниченко начал исследовать различные гиперкомплексные системы, рассматривая их вопросы, аналогичные тем, которые касались проблематики этого отдела. Эти исследования дали начало развитию в Украине так называемого гиперкомплексными анализа в узком смысле, то есть теории, аналогичной комплексного анализа, но для гиперкомплексных чисел вместо комплексных (как известно, словосочетанием «комплексный анализ» принято обозначать теорию функций комплексного переменного, особенно аналитических функций).
Впоследствии к гиперкомплексных деятельности присоединились еще двое сотрудников Института математики НАНУ: проф. А. Ф. Турбин, основной специальностью которого является теория вероятностей, и С. А. Плакса, работающий в уже упомянутом отделе комплексного анализа и теории потенциала. Отдельного отдела, посвященного гиперкомплексных исследованием, в Институте нет; этой деятельностью там занимаются только упомянутые двое ученых и еще несколько молодых математиков, тяготея при этом в основном к проблематике отдела комплексного анализа и теории потенциала (однако последнее не касается профессор А. Ф. Турбина).
Другой очаг украинский гиперкомплексных исследований находится в Житомире. История этой ячейки началась около 2000 года благодаря тому, что заведующий кафедрой математического анализа Житомирского государственного университета (ЖДУ) доц. А. Ф. Герус познакомился во время научной конференции с мексиканским математиком, бывшим одесситом проф. М. Шапиро, который занимается самыми разнообразными вопросами, связанными с гиперкомплексными системами (преимущественно кватернионами). Началось сотрудничество этих двух ученых, и впоследствии А. Ф. Герус начал привлекать к гиперкомплексных исследований некоторых студентов и преподавателей физико-математического факультета ЖДУ. Постепенно образовалась команда житомирских гиперкомплексникив, которая демонстрирует достаточно успешную научную работу, в том числе международное сотрудничество. Следует отметить, что приказом ректора ЖДУ в университете был образован специальное подразделение под названием «Научно-исследовательская лаборатория комплексного и гиперкомплексными анализа».
Современные гиперкомплексные исследования можно разделить на алгебраические и аналитические; последние часто называют гиперкомплексных анализом в широком смысле (т.е. математический анализ, рассматриваемый с задействованием собственно гиперкомплексных чисел). По алгебраических гиперкомплексных исследований, то украинские исследователи уделяют много внимания вопросам о развязки гиперкомплексных полиномиальных уравнений; также характерны (особенно для профессор А. Ф. Турбина) исследования по конструированию новых гиперкомплексих систем и изучения их основных алгебраических характеристик. Что касается гиперкомплексными анализа, то для украинских исследователей характерны такие направления: гиперкомплексных анализ в узком смысле (т.е. теория функций собственно гиперкомплексных переменной с акцентом на вопросы, аналогичные тем, которые возникают при изучении аналитических функций); гиперкомплексных функциональный анализ.