Рациональные числа

Рациональные числа – в математике множество рациональных чисел определяется как множество дробей с целым числителем и натуральным знаменателем: или как множество решений уравнения , т.е. n – натуральное число, а m – целое число. 
Множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел.
Формальное определение
Формально можно дать определение рациональных чисел как множества классов эквивалентности пар по отношению эквивалентности, если. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:
Связанные определения
Правильным называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя.
Дробь, не является правильным, называется неправильной.
Например, дроби, и – правильные,
а, и – неправильные дроби.
Любое целое число можно представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1.
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби.
Например.
В строгом математической литературе запись в виде смешанного дроби преимущественно не используется из-за сходства обозначения смешанного дроби с обозначением произведения целого числа с дробью.
Основные свойства
Для рациональных чисел выполняются шестнадцать основных свойств, которые можно получить из свойств целых чисел.

Упорядоченность Для любых рациональных чисел a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трех отношений: «» или «=». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется так: два неотрицательных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и, два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и, если же a неотрицательно, а b – отрицательно, то a> b.


Добавление дробей

Операция сложения Для любых рациональных чисел a и b существует правило сложения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом число c называется суммой чисел a и b и обозначается, а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило сложения имеет такой вид:.

Операция умножения Для любых рациональных чисел a и b существует правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом число c называется произведением чисел a и b и обозначается, а процесс отыскания такого числа называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид:.


Транзитивность отношения порядка Для любой тройки рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равна c.

Коммутативность сложения От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

Ассоциативность сложения Порядок сложения трех рациональных чисел не влияет на результат.

Наличие нуля Существует рациональное число 0 (ноль), которое не изменяет любое другое рациональное число при добавлении.

Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при добавлении к которому образуется 0.

Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трех рациональных чисел не влияет на результат.

Существование единицы Существует рациональное число 1, которое не изменяет любое другое рациональное число при умножении.

Наличие обратных чисел. Любое рациональное число, не равна нулю, имеет обратное рациональное число, умножение на которое дает 1.

Дистрибутивность умножения относительно сложения Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

Связь отношения порядка с операцией сложения К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

Аксиома Архимеда. Каким бы ни было рациональное число a, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдет a.

Дополнительные свойства 
Остальные свойства рациональных чисел не входят в основные, они не опираются на свойства целых чисел, а могут быть доказаны с использованием основных свойств или по определению некоторого математического объекта. Таких свойств очень много, вот некоторые из них:
Нумерация рациональных чисел Счетное множество – в теории множеств такая бесконечное множество, элементы которой можно занумеруваты натуральными числами. Легко доказать, что множество рациональных чисел счетно. Для этого достаточно привести алгоритм, нумерует рациональные числа, т.е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел. Иллюстрация изображает один из вариантов этого алгоритма. Существуют и другие способы занумеруваты рациональные числа. Например, для этого можно использовать ряд Фаре.