Арифметика

Арифметика (греч.  – число) – наука, изучающая действия над целыми числами, учит решать задачи, которые сводятся к сложения, вычитания, умножения и деления этих чисел. Арифметику часто считают первой ступенькой математики, зная которую можно изучать сложные ее разделы – алгебру, математический анализ и т.д. Даже целые числа – основной объект арифметики – относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теории чисел.

Арифметика является также названием школьной дисциплины, которая знакомит с положительными рациональными числами, арифметическими действиями с ними и некоторыми сведениями о делимости целых чисел. Арифметики развивает логическое мышление детей, их сообразительность, дает необходимую подготовку к практической деятельности и дальнейшего изучения математики и физики. В средней школе изучают также числа отрицательные рациональные, иррациональные и алгебраические. Соответствующие разделы теории чисел принято объединять в учебную дисциплину высшей педагогической школы под названием теоретическая арифметика.
Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки и время. Арифметика возникла в странах древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ахмеса (названный по имени его владельца Г. Ахмеса) принадлежит к ХХ в. до н. н.э. Среди других сведений он содержит расписание дробей на сумму дробей с числителем – единицей, например:

Математические знания накоплены в странах древнего Востока развивались дальше учеными древней Греции. История сохранила имена многих ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире: Анаксагор, Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен, Диофант. Особо стоит выделить имя Пифагора, Пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) обожали числа, считая, что в них содержится вся гармония мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В чести были числа 7 и 36, тогда же было обращено внимание на так называемые идеальные числа, дружественные числа, т.

В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. От индийцев пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, ноль и позиционная система счисления, от аль-Каши (XV век), работавший в самаркандско обсерватории Улугбека, – десятичные дроби. Благодаря развитию торговли и влияния восточной культуры начиная с XIII в. повышается интерес к арифметике и в Европе. Так произведение итальянского ученого Леонардо Пизанского (Фибоначчи) «Книга абака» знакомил европейцев с основными достижениями математики Востока и стал началом многих исследований в арифметике и алгебре.

Вместе с изобретением книгопечатания (середина XV века) появились первые печатные книги по математике. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 г. В «Полной арифметике» немецкого математика М. Штифеля (начало XVI века) уже есть отрицательные числа даже идея логарифмирования. Примерно с XVI в. развитие арифметики сливается с алгеброй. Значительными событиями были работы Франсуа Виета, в которых числа отмеченных знаком. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

В XVI-XVII вв. благоприятные условия для развития науки сложились в западно-европейских странах. Здесь в связи с развитием алгебры входят в употребление отрицательные числа, внедряются комплексные числа, открываются цепные и, вторично, десятичные дроби. Постепенно понятие числа абстрагируется от конкретных процессов счета определенных предметов и измерения и числа уже не рассматриваются как «именуемые». В XVIII веке преимущественно благодаря исследованиям Л. Эйлера теория чисел становится самостоятельной научной дисциплиной. В XIX веке исследования сложных вопросов теории чисел привели к значительному обобщение понятия целого числа (Карл Гаусс, Э. Куммер, Ю. Дедекинд, Юлиус Вильгельм, Е. И. Золотарев) и определенного завершения теории делимости. В связи с этим украинский математик Г. ф. Вороной и немецкий математик Г. Минковский подали важное обобщение алгоритма цепных дробей. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, известная с начала века, обеспечила им права гражданства в алгебре и математическом анализе и стала основой дальнейших обобщений. В свою очередь, современные теории действительного числа разработан в связи с потребностями арифметики и математического анализа на основе свойств рациональных чисел (Ю. Дедекинд, Юлиус Вильгельм, Г. Кантор, Карл Вейерштрасс). Только в конце XIX в. достаточно полно разработана аксиоматику натуральных чисел и действий с ними (в основном Дж. Пеано).

Основной объект арифметики – число. Натуральные числа возникли со счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем люди усвоили, что две птицы, две руки, два человека можно назвать одним и тем же словом – «два». Важная задача арифметики – научиться абстрагироваться от формы предметов, их размера, цвета. Уже в Фибоначчи является задача: «Семь женщин идут в Рим. В каждой по 7 мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе 7 ножей, каждый чем в 7 ножнах. Сколько всех? »Для решения этой задачи добавить женщин мулов, мешки и хлеба. Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, были пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основывается на зависимостях между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил в течение многих веков. Можно четко проследить «геометризации» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становятся понятными, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самой математике и ее приложениях играет обратный процесс – перевод геометрической информации на язык чисел (см. Графические вычисления). В основе этого перевода лежит идея французского философа и математика Рене Декарта определения точек на плоскости координатами. Разумеется, к нему эта идея уже использовалась, например в морском деле, когда надо было определить местонахождение корабля, а также астрономии, геодезии. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом космического аппарата) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел, и обрабатывает вычислительная машина.