Натуральные числа

Натуральные числа могут использоваться для счета (одно яблоко, два яблока, три яблока, …). Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счете. Это числа: 1, 2, 3, 4, … В математике множество натуральных чисел принято обозначать знаком Множество натуральных чисел является бесконечным.
Существуют два основных подхода к определению натуральных чисел:
Отрицательные и дробные числа не являются натуральными числами.
Существует бесконечное количество натуральных чисел: для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его. Ноль, обычно, не относят к натуральных чисел. (Хотя существуют так называемые французские натуральные числа – это обычные натуральные числа, плюс ноль.)
Понятие натурального числа, вызванное потребностью счета предметов, возникло еще в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа продолжался на протяжении всей истории человечества. На низком этапе первобытного общества понятие абстрактного числа не существовало. В сознании первобытного человека еще не сформировалось то общее, что объединяет например, "три человека" и "три озера". Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счета предметов различного типа использовались различные словесные обороты. Слово "три" в контекстах "три человека", "три лодки" передавалось по-разному. Такие именуемые числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированного понятиями "много" (о большом количестве тех или иных предметов), которые также были именуемыми, т.е. высказывались разными словами для различных типов объектов, такими, как "толпа", "стадо", "куча" и т.п. Сначала числовые сроки имели более качественный характер – отличали один, два и большее количество. Большее значение получали добавлением. Например, в австралийского племени реки Муррей, 1 – Энза, 2 – петчевал, 3 – петчевал-Энза, 4 – петчевал-петчевал. Но даже такие способности человечество получило после большого промежутка времени, в который пользовались только из понятий "один", "два" и "много" (до сих пор сохранилось племя, которое остановилось на этом этапу развития умений числового абстрагирования).
Источником возникновения понятия абстрактного числа была примитивная Счет предметов, основанная на сопоставлении предметам данной совокупности предметов определенной совокупности, малая роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном были пальцы ("Счет на пальцах"), непосредственно подтверждается языковедческих анализом названий первых чисел. На этом этапе число становится абстрактным, независимым от качества объектов счета, но вместе с тем связанным с природой совокупности-эталону. Расширение потребностей счета побудило людей пользоваться из других эталонов счета, например, зарубок на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея: обозначение некоторого определенного числа (у большинства народов – десяти) новым знаком, например, засечкой на другой палочке.
С развитием письменности воспроизведение чисел значительно расширились. Сначала числа стали обозначать черточками на материале, который служил для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения чисел, а также "римские цифры", которые сохранились до наших дней, ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначений для чисел.
Большим прогрессом было изобретение "цифр". Теперь стало возможным записать любое число ограниченным набором символов. Например, вавилоняне развили мощную позиционную систему, которая базировалась на цифрах 1 и 10, но фактически ее основой было число 60. Более удобной была индийская позиционная система счисления, которая позволяла записать любое натуральное число с помощью десяти знаков – цифр она впоследствии стала всемирно признанной прежнему остается такой (хотя форма цифр несколько изменялась; цифры этой системы мы называем арабскими, так как система пришла в Европу через арабов). Таким образом, параллельно с развитием письменности, понятие натурального числа принимает все более абстрактную форму, отделенную от любой конкретности понятия числа, воспроизводимого как в форме слов в устной речи, так и в форме обозначения специальными знаками в письменной.
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел – потенциальной возможности его безграничного продолжения. Четкое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (III век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда. В "Началах" Евклида устанавливается даже бесконечность количества простых чисел, а в книге Архимеда "Псамит" – принципы для построения названий и обозначений как угодно больших чисел, в частности крупнее "число песчинок в мире".
Ноль, первоначально означал отсутствие числа; он стал рассматриваться как число только после введения отрицательных чисел ноль иногда включают в натуральных чисел).
Вопрос об обоснованности понятие натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное и простое, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине XIX века, под влиянием развития аксиоматического метода в математике с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа – с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа.
Четкое определение понятия натурального числа на основе понятия множества было дано в 70-х годах XIX века в работах Георга Кантора. Сначала он обозначает равномощности множеств. Затем число элементов одного множества обозначается как то общее, что дано множество и любая другая, равномощное ей, независимо от качественных особенностей элементов этих множеств. Такое определение отражает суть натурального числа как результата счета предметов.
Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое может быть задано с помощью аксиом. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Джузеппе Пеано.
Аксиомы Пеано



Формальное определение натуральных чисел сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано в 1889 году. Аксиомы Пеано основывались на разработках Грассмана, хотя именно Пеано придал им современный вид. Эти аксиомы позволили формализовать арифметику. После их ввода появилась возможность доказывать, например, равенство , Основные свойства натуральных чисел, а также формализована строить системы целых, рациональных, действительных чисел.
Аксиомы Пеано:
Введем функцию , Которая сопоставляет числу следующее за ним число (иначе говоря, число, которое следует за ним).

(Единица является натуральным числом).
Если , То (Число, следующее за натуральным, также является натуральным).
(Единица не следует за каким натуральным числом).
Если и то (Натуральное число не может следовать за двумя различными натуральными числами).
Аксиома индукции: Пусть некоторое высказывание, зависящее от числа , Истинное для (База индукции). И пусть для каждого натурального из истинности этого высказывания для вытекает его истинность для (Индукционное предположение). Тогда это высказывание истинное для всех натуральных .

В оригинале Джузеппе Пеано первую натуральную числом принимал 0, а не 1. Для множества натуральных чисел в этом "расширенном" смысле, т.е. , Обычно используют обозначение или В некоторых источниках и сейчас считают это множеством натуральных чисел, но общепринято считать, что наименьшее натуральное число – это 1; зато множество можно назвать множеством целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественное определение
Согласно теории множеств, все объекты построения любых математических систем можно трактовать как множества. Развивая эту точку зрения, натуральные числа можно означать, основываясь на множествах. В теоретико-множественном определении натуральные числа включают и число 0.
Стандартное определение
В стандартном теоретико-множественном определении используется конструкция, предложенная Джоном фон Нейманом. Согласно ей, натуральные числа отождествляются с определенными множествами, согласно следующих двух правил:



Здесь, как и выше, под мы понимаем число, следующее относительно . Числа, заданные таким образом, называются ординальные.
Вот ординальные числа и соответствующие им натуральные числа:



Согласно этому определению, во множественном числе, что соответствует числу , Являются равно элементов (в наивном смысле) и , Если и только если множество, соответствует числу , Является подмножеством множества, соответствует числу .
Другие определения
Хотя стандартная конструкция полезна, но она не является единственно возможной конструкцией. Например:
Обозначим правила так:
Тогда имеем



Или можно обозначить правила так:
Тогда имеем



Возможно, старое определение натуральных чисел – определение, конечно приписываемое Фреге и Расселу, в котором каждое конкретное натуральное число n обозначен как множество всех множеств из n элементами. Это определение может показаться нечетким, но в действительности оно может быть строго переформулировано следующим образом:



Тогда 0 будет множеством всех множеств без элементов, будет множеством всех множеств из 2 элементами, и так далее.
К арифметических операций над натуральными числами принято относить следующие операции:


Операции сложения и умножения являются основными, а другие обозначаются через них, как описано выше; это характерно для любых математических структур с аналогичными операциями. Отметим также, что сложение и умножение являются замкнутыми операциями в множестве натуральных чисел, поскольку они всегда дают в результате натуральное число (если были совершены над натуральными числами); этого нельзя сказать о вычитания и деления.

Коммутативность сложения:
Коммутативность умножения:
Ассоциативность сложения:
Ассоциативность умножения:
Дистрибутивность умножения относительно сложения: