Теория возмущений

Теория возмущений – метод решения математических задач, основанный на известном решения и рассматривает отклонения от этого решения пропорциональными определенном малом параметру.
Метод возмущений является одним из основных методов нахождения решений квантово-механических уравнений движения, в частности уравнение Шредингера. Различают метод возмущений для стационарного уравнения Шредингера и метод возмущений для временного уравнения Шредингера в том случае, когда возмущения зависит от времени.
Теория возмущений для стационарного уравнения Шредингера
Теория возмущений применяется тогда, когда нужно найти собственные числа и собственные функции гамильтониана

,

где H 0 – гамильтониан с известным спектром, ? – малый параметр, – Оператор возмущения.
Для волновых функции n-го состояния невозмущенного гамильтониана и энергии состояния справедливо соотношение



Для нахождения решения проводится расписание волновой функции в ряд Тейлора относительно малого параметра

.

Собственные функции невозмущенного гамильтониана составляют ортонормированного базиса, поэтому любую волновую функцию можно представить в виде

.

Таким образом, расклад в ряд Тейлора волновой функции аналогичный расписания коэффициентов c n:



Аналогичным образом разлагается в ряд Тейлора энергия собственного состояния

.

В первом приближении теории возмущений (когда учитываются только линейные по ? члены) энергия n-го состояния получает прирост

Lambda int psi_ {n} ^ {(0) *} hat {V} psi_ {n} ^ {(0)} dV "src =" http://upload.wikimedia.org/math/4 / 7/d/47d41d2bb849d9c339b2ad39cad272c4.png "/>.

Изменение волновой фунции определяется формулой

,

где – Собственные значения невозмущенного гамильтониана , А



Это изменение ортогональная начальной волновой функции .
Во втором приближении теории возмущений учитываются члены, пропорциональные ? 2.

.


Очевидно, что поправка к энергии оставаться малой лишь при условии, когда . То есть, теория возмущений в представленном виде справедлива лишь для систем и состояний, энергии которых не невырожденные и не близки между собой. Для систем с близкими уровнями энергий и вырожденных систем формулы теории возмущений меняются.
Теория возмущений вырожденных уровней
Возмущения обычно приводит к снятию вырождения. Состояния, в невозмущенном состоянии имели одинаковую энергию, при учете возмущения получают различное значение энергии.
В случае вырождения существуют собственных функций невозмущенного гамильтониана , Соответствующие энергии

.

Любая линейная комбинация этих функций тоже является собственной функцией невозмущенного гамильтониана. Ища решение возмущенной задачи в виляди



где a n ? – неопределенные коэффициенты, получаем в первом приближении по малому параметру ? систему уравнений на собственные значения энергии

.

Отклонение полученных значений энергии от положения n-го уровня невозмущенной задачи пропорциональное малому параметру. Определяя собственные значения энергии можно одновременно найти коэффициенты a n ?, определяющие волновые функции возмущенных состояний.
В зависимости от типа возмущения снятия вырождения может быть неполным.
Зависящее от времени возмущения
Если возмущения зависит от времени нужно решать нестационарное уравнение Шредингера

.

Функцию ? (t) можно представить в виде разложения по ортонормированной системе собственных функций гамильтониана невозмущенной задачи

.

Зависящие от времени коэффициенты разложения c n (t) должны удовлетворять системе уравнений

.

где [thumb=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875491_242a19bc6389e4067b1eaf8d20fa2e2e08.png[/img], А [img=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875525_258f78aab06e18a706dbf58c04ff3e0622.png[/thumb]. Эта система уравнений полностью эквивалентна уравнению Шредингера. Считая ? малым параметром, решение можно искать в виде разложения

.

Собирая члены с одинаковыми степенями относительно ?, можно получить цепочку уравнения для приближенных решений

[img=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875503_273a7fa3e05437b9c1c79116304a6b390c.png[/img]
c_n ^ {(0)} (t) e ^ {i omega_ {mn} t} "src =" http://upload.wikimedia.org/math/6/8/f/68f...35d92c393a4.png "/>


т.д.
В нулевом приближении теории возмущений волновая функция не изменяется. Предполагая, что к возмущению система находилась в одном из стационарных состояний s, .
В первом приближении теории возмущений

.

Таким образом, вероятность того, что квантовая система под действием возмущения перейдет из состояния s в состояние n задается формулой



Монохроматическое возбуждение
Если возбуждение монохроматическое, т.е. его можно представить в виде

,

то интегрирование можно выполнить и получить



Вероятность перехода системы из состояния s в состояние n имеет полюса при . При частотах внешнего возбуждения, которые не совпадают с разностями энергий квантовых состояний, разделенных на постоянную Планка, эта вероятность мала величина, осциллирующего со временем. При совпадении возникает явление резонанса и вероятность перехода значительно возрастает.
При ? n s> 0 вторым членом можно знехнуваты, и тогда

.

При зависящий от времени множитель переходит в дельта-функцию Дирака, а вероятность перехода в единицу времени задается золотым правилом Ферми

.