Теория возмущений
Теория возмущений – метод решения математических задач, основанный на известном решения и рассматривает отклонения от этого решения пропорциональными определенном малом параметру.
Метод возмущений является одним из основных методов нахождения решений квантово-механических уравнений движения, в частности уравнение Шредингера. Различают метод возмущений для стационарного уравнения Шредингера и метод возмущений для временного уравнения Шредингера в том случае, когда возмущения зависит от времени.
Теория возмущений для стационарного уравнения Шредингера
Теория возмущений применяется тогда, когда нужно найти собственные числа и собственные функции гамильтониана
,
где H 0 – гамильтониан с известным спектром, ? – малый параметр,
– Оператор возмущения.
Для волновых функции
n-го состояния невозмущенного гамильтониана и энергии состояния справедливо соотношение

Для нахождения решения проводится расписание волновой функции в ряд Тейлора относительно малого параметра
.
Собственные функции невозмущенного гамильтониана составляют ортонормированного базиса, поэтому любую волновую функцию можно представить в виде
.
Таким образом, расклад в ряд Тейлора волновой функции аналогичный расписания коэффициентов c n:

Аналогичным образом разлагается в ряд Тейлора энергия собственного состояния
.
В первом приближении теории возмущений (когда учитываются только линейные по ? члены) энергия n-го состояния получает прирост
Lambda int psi_ {n} ^ {(0) *} hat {V} psi_ {n} ^ {(0)} dV "src =" http://upload.wikimedia.org/math/4 / 7/d/47d41d2bb849d9c339b2ad39cad272c4.png "/>.
Изменение волновой фунции определяется формулой
,
где
– Собственные значения невозмущенного гамильтониана
, А

Это изменение ортогональная начальной волновой функции
.
Во втором приближении теории возмущений учитываются члены, пропорциональные ? 2.
.

Очевидно, что поправка к энергии оставаться малой лишь при условии, когда
. То есть, теория возмущений в представленном виде справедлива лишь для систем и состояний, энергии которых не невырожденные и не близки между собой. Для систем с близкими уровнями энергий и вырожденных систем формулы теории возмущений меняются.
Теория возмущений вырожденных уровней
Возмущения обычно приводит к снятию вырождения. Состояния, в невозмущенном состоянии имели одинаковую энергию, при учете возмущения получают различное значение энергии.
В случае вырождения существуют собственных функций
невозмущенного гамильтониана
, Соответствующие энергии 
.
Любая линейная комбинация этих функций тоже является собственной функцией невозмущенного гамильтониана. Ища решение возмущенной задачи в виляди

где a n ? – неопределенные коэффициенты, получаем в первом приближении по малому параметру ? систему уравнений на собственные значения энергии
.
Отклонение полученных значений энергии от положения n-го уровня невозмущенной задачи пропорциональное малому параметру. Определяя собственные значения энергии можно одновременно найти коэффициенты a n ?, определяющие волновые функции возмущенных состояний.
В зависимости от типа возмущения снятия вырождения может быть неполным.
Зависящее от времени возмущения
Если возмущения зависит от времени нужно решать нестационарное уравнение Шредингера
.
Функцию ? (t) можно представить в виде разложения по ортонормированной системе собственных функций гамильтониана невозмущенной задачи
.
Зависящие от времени коэффициенты разложения c n (t) должны удовлетворять системе уравнений
.
где [thumb=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875491_242a19bc6389e4067b1eaf8d20fa2e2e08.png[/img], А [img=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875525_258f78aab06e18a706dbf58c04ff3e0622.png[/thumb]. Эта система уравнений полностью эквивалентна уравнению Шредингера. Считая ? малым параметром, решение можно искать в виде разложения
.
Собирая члены с одинаковыми степенями относительно ?, можно получить цепочку уравнения для приближенных решений
[img=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875503_273a7fa3e05437b9c1c79116304a6b390c.png[/img]
c_n ^ {(0)} (t) e ^ {i omega_ {mn} t} "src =" http://upload.wikimedia.org/math/6/8/f/68f...35d92c393a4.png "/>

т.д.
В нулевом приближении теории возмущений волновая функция не изменяется. Предполагая, что к возмущению система находилась в одном из стационарных состояний s,
.
В первом приближении теории возмущений
.
Таким образом, вероятность того, что квантовая система под действием возмущения перейдет из состояния s в состояние n задается формулой

Монохроматическое возбуждение
Если возбуждение монохроматическое, т.е. его можно представить в виде
,
то интегрирование можно выполнить и получить

Вероятность перехода системы из состояния s в состояние n имеет полюса при
. При частотах внешнего возбуждения, которые не совпадают с разностями энергий квантовых состояний, разделенных на постоянную Планка, эта вероятность мала величина, осциллирующего со временем. При совпадении возникает явление резонанса и вероятность перехода значительно возрастает.
При ? n s> 0 вторым членом можно знехнуваты, и тогда
.
При
зависящий от времени множитель переходит в дельта-функцию Дирака, а вероятность перехода в единицу времени задается золотым правилом Ферми
.
Метод возмущений является одним из основных методов нахождения решений квантово-механических уравнений движения, в частности уравнение Шредингера. Различают метод возмущений для стационарного уравнения Шредингера и метод возмущений для временного уравнения Шредингера в том случае, когда возмущения зависит от времени.
Теория возмущений для стационарного уравнения Шредингера
Теория возмущений применяется тогда, когда нужно найти собственные числа и собственные функции гамильтониана

где H 0 – гамильтониан с известным спектром, ? – малый параметр,

Для волновых функции


Для нахождения решения проводится расписание волновой функции в ряд Тейлора относительно малого параметра

Собственные функции невозмущенного гамильтониана составляют ортонормированного базиса, поэтому любую волновую функцию можно представить в виде

Таким образом, расклад в ряд Тейлора волновой функции аналогичный расписания коэффициентов c n:

Аналогичным образом разлагается в ряд Тейлора энергия собственного состояния

В первом приближении теории возмущений (когда учитываются только линейные по ? члены) энергия n-го состояния получает прирост
Lambda int psi_ {n} ^ {(0) *} hat {V} psi_ {n} ^ {(0)} dV "src =" http://upload.wikimedia.org/math/4 / 7/d/47d41d2bb849d9c339b2ad39cad272c4.png "/>.
Изменение волновой фунции определяется формулой

где



Это изменение ортогональная начальной волновой функции

Во втором приближении теории возмущений учитываются члены, пропорциональные ? 2.


Очевидно, что поправка к энергии оставаться малой лишь при условии, когда

Теория возмущений вырожденных уровней
Возмущения обычно приводит к снятию вырождения. Состояния, в невозмущенном состоянии имели одинаковую энергию, при учете возмущения получают различное значение энергии.
В случае вырождения существуют собственных функций




Любая линейная комбинация этих функций тоже является собственной функцией невозмущенного гамильтониана. Ища решение возмущенной задачи в виляди

где a n ? – неопределенные коэффициенты, получаем в первом приближении по малому параметру ? систему уравнений на собственные значения энергии

Отклонение полученных значений энергии от положения n-го уровня невозмущенной задачи пропорциональное малому параметру. Определяя собственные значения энергии можно одновременно найти коэффициенты a n ?, определяющие волновые функции возмущенных состояний.
В зависимости от типа возмущения снятия вырождения может быть неполным.
Зависящее от времени возмущения
Если возмущения зависит от времени нужно решать нестационарное уравнение Шредингера

Функцию ? (t) можно представить в виде разложения по ортонормированной системе собственных функций гамильтониана невозмущенной задачи


Зависящие от времени коэффициенты разложения c n (t) должны удовлетворять системе уравнений

где [thumb=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875491_242a19bc6389e4067b1eaf8d20fa2e2e08.png[/img], А [img=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875525_258f78aab06e18a706dbf58c04ff3e0622.png[/thumb]. Эта система уравнений полностью эквивалентна уравнению Шредингера. Считая ? малым параметром, решение можно искать в виде разложения

Собирая члены с одинаковыми степенями относительно ?, можно получить цепочку уравнения для приближенных решений
[img=left]https://mir-prekrasen.net/uploads/posts/2011-02/1297875503_273a7fa3e05437b9c1c79116304a6b390c.png[/img]
c_n ^ {(0)} (t) e ^ {i omega_ {mn} t} "src =" http://upload.wikimedia.org/math/6/8/f/68f...35d92c393a4.png "/>

т.д.
В нулевом приближении теории возмущений волновая функция не изменяется. Предполагая, что к возмущению система находилась в одном из стационарных состояний s,

В первом приближении теории возмущений

Таким образом, вероятность того, что квантовая система под действием возмущения перейдет из состояния s в состояние n задается формулой

Монохроматическое возбуждение
Если возбуждение монохроматическое, т.е. его можно представить в виде

то интегрирование можно выполнить и получить

Вероятность перехода системы из состояния s в состояние n имеет полюса при

При ? n s> 0 вторым членом можно знехнуваты, и тогда

При

.


Дифференциальные уравнения
Визуализация воздушного потока из уравнения Навье-Стокса Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Дифференциальные уравнения – раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую
ПОДРОБНЕЕ
Квантовая электродинамика
Квантовая электродинамика – область физики, изучающая взаимодействие между заряженными частицами, учитывая квантовые свойства частиц и полей. Квантовая механика опирается на квантовые уравнения
ПОДРОБНЕЕ
Гравитон
Гравитон – квант-переносчик гравитационного взаимодействия – элементарная частица без электрического заряда со спином 2 и двумя возможными направлениями поляризации. Несмотря на отсутствие в
ПОДРОБНЕЕ
Вектор состояния
Вектор состояния – совокупность характеристик, однозначно определяют состояние квантовой системы. Понятие вектор состояния является обобщением понятия волновой функции. Волновая функция, эволюция
ПОДРОБНЕЕ
Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, которое определяет закон эволюции квантовой системы со временем. , где – Волновая функция, H – гамильтониан. Впервые это
ПОДРОБНЕЕ
Гамильтониан
Гамильтониан – оператор энергии в квантовой механике. Его спектр определяет все возможные значения энергии квантовой системы, которые можно получить при измерении. Название гамильтониан, как и
ПОДРОБНЕЕ