Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца это линейные преобразования координат, оставляющие неизменным пространственно-временной интервал. Преобразования Лоренца связывают координаты событий в различных инерциальных системах отсчета и имеют фундаментальное значение в физике. Инвариантность физической теории относительно преобразований Лоренца, или релятивистская инвариантность, является необходимым условием достоверности этой теории.
Преобразования Лоренца в системах с параллельными осями
Наиболее распространенная форма записи преобразований Лоренца связывает координаты события в инерциальной системе отсчета K с координатами той же в события в системе K ', которая движется относительно K со скоростью V вдоль оси x:

,


где x, y, z, t – координаты события в системе K; x ', y', z ', t' – координаты того же события в системе K '; V – относительная скорость двух систем; c – скорость света.

Обратные формулы (переход от системы K 'в K) можно получить заменой V ->-V:

.

Матричный запись преобразований Лоренца
Часто, особенно в англоязычной литературе, преобразования Лоренца записываются в виде матрицы поворота | | ? ? '? | |, переводящий компоненты 4-вектора x ? системы K в компоненты 4-вектора x ?' = ? ? '? x ?, системы K ':

.

Формулы преобразований Лоренца с произвольной ориентацией осей систем
В случае когда оси x координатных систем не параллельные скорости формулы преобразования были получены Герглотцем в 1911 году. Для вывода этих формул удобно разделить радиус-вектор частицы r в системе K на компонента r | |, которая параллельна скорости V относительного движения инерциальных систем, и компонента r ?, перпендикулярной V. Тогда при переходе к другой системе K 'будет меняться только параллельная составляющая r | |:



Окончательно радиус-вектор частицы в системе K 'r' = r '| | + r' ? формулы будут выглядеть так:

,


.

Гиперболическая форма записи
С математической точки зрения интервал между двумя событиями можно рассматривать как "расстояние" между двумя точками в четырехмерной системе координат. Итак, согласно определению, преобразование Лоренца должны сохранять неизменной любую длину в четырехмерном пространстве x, y, z, ct. Линейными преобразованиями с такими свойствами является лишь параллельные переносы и вращения системы координат. Параллельные переносы и вращения в плоскостях xy, yz, zx сводятся к переносу начала отсчета пространства и времени и обычным пространственным поворотам. Последние три поворота системы координат в плоскостях tx, ty, tz и есть преобразованиями Лоренца.
Если ввести "угол поворота" ?, такой что

,

то преобразования Лоренца для систем K и K 'с параллельными осями можно записать в гиперболической форме:

ct '= – x sh? + ct ch?,


x '= x ch? – ct sh?,


y '= y,


z '= z.

Эти формулы отличаются от обычных формул преобразования при поворотах системы координат заменой тригонометрических функций гиперболическими. В этом проявляются отмены псевдоевклидовои геометрии Минковского от обычной евклидовой.
Из формул преобразований легко увидеть, что при предельном переходе c -> ? к классической механики или – что то же самое – при скоростях значительно меньших скорости света формулы преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея по принципу соответствия.
При V> c координаты x, t становятся мнимыми, что означает тот факт, что движение со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, невозможно. Невозможно также использовать систему отсчета, которая двигалась со скоростью света, потому что тогда знаменатели в формулах равнялись бы нулю.
В отличие от преобразований Галилея преобразования Лоренца некомутативни: результат двух последовательных преобразований Лоренца зависит от их порядка. Математически это можно увидеть с формальной толкование преобразований Лоренца как вращений четырехмерной системы координат, где, как известно, результат двух вращений вокруг различных осей зависит от порядка их выполнения. Исключением из этого правила являются лишь преобразования с параллельными векторами скоростей V 1 | | V 2, которые эквивалентны поворотам системы координат относительно одной оси.
Толчком к открытию преобразований Лоренца послужил нулевой результат интерференционного эксперимента Майкельсона-Морли. Для устранения выявленных проблем теории эфира Лоренц предположил, что все тела при постепенном движении изменяют свои размеры, а именно, что уменьшение размеров тела в направлении движения определяется множителем , Где – Уменьшение размеров в направлении перпендикулярном движению тела. Необходимо было органично ввести это уменьшение размеров в теорию.
Первым формулы, известные сейчас как преобразование Лоренца, вывел Лармор в 1900 году, и таким образом учел изменения масштаба времени при движении. В 1904 Лоренц доказал инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца, но у них еще входил неопределенный множитель и две инерционные системы еще не рассматривались полностью равноправными.
В 1905 Анри Пуанкаре исправил пробелы в работе Лоренца и достиг полной ковариантности электронной теории. Принцип относительности был определен им как общее и строгое положение. Именно в работах Пуанкаре впервые встречаются названия преобразования Лоренца и группа Лоренца.