4-тензор

4-тензор – математический объект, используемый для описания поля в релятивистской физике, тензор, определенный в четырехмерном пространстве-времени, повороты системы отсчета в котором включают как обычные повороты трехмерного пространства, так и переход между системами отсчета, движущихся с различными скоростями одна относительно другой.
В загальтому случае 4-тензор является объектом с набором индексов:



При изменении системы отсчета компоненты этого объекта превращаются по закону

,

где ? i j – матрица поворота, ? i j – обратная ей.
Верхние индексы называются котравариатнимы, нижние – ковариантный. Суммарное число индексов задает ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.
Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются родственными (дуальными). Опускания или поднятия индеска осуществляется с помощью метрического тензора , Например для 4-тензора второго ранга



Уравнения теории относительности особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи является то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат в другую.
4-Терзора электромагнитного поля

Подробнее в статье 4-тензор электромагнитного поля


Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнения Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.
Определение через 4-потенциал
4-тензор определяется через производные от 4-потенциала:

.

Определение через трехмерные векторы
4-тензор определяется через обычные трехмерные составные векторов напряженности следующим образом:






Первая форма – это ковариантный тензор, вторая форма – контравариантный тензор.
Сила Лоренца
Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле принимает вид

,

где u k – 4-скорость, q – электрический заряд частицы, c – скорость света, m – масса покоя. Правая часть этого уравнения это сила Лоренца.