Тензор кривизны

Тензор кривизны (Тензор внутренней кривизны многообразиях) появляется при рассмотрении коммутатора ковариантных производных ковариантного вектора (смотрите статью Дифференциальная геометрия)




Вместо ковариантных компонент a i можно подставить базисные векторы :



И учитывая, что ковариантная производная от базисных векторов равна векторам полной кривизны (Смотрите Простые вычисления дифференциальной геометрии), имеем:



Домножим формулу (3) скалярно на , I учтем ортогональность векторов кривизны до многообразия: . В результате получаем формулу для ковариантных компонент тензора Римана:





или после смены знака и переименование индексов:



Как можно увидеть из последнего уравнения (в скалярных произведениях индексы k и l переставлены), тензор Римана антисимметричный по первой паре индексов i j и по второй паре индексов k l (при перестановке уменьшающееся и вычитаемое в правой части формулы (4) меняются местами) :



Также легко видеть, что тензор Римана не меняется при перестановке первой пары индексов i j со второй парой индексов k l (при перестановке в множителях уменьшаемого индексы переставляются, но поскольку величины симметричные по индексам, то скалярное произведение уменьшаемого не изменится; в вычитаемое аналогично, но сомножители в скалярном произведении меняются местами, не влияет на результат):



Свертка тензора Римана по первому и третьему индексам (или, что эквивалентно, по второму и четвертому индексах) дает симметричный тензор второго ранга R i k, который называется тензором Риччи:



Тензор Риччи симметричен:



Тензор Риччи можно свернуть по индексам, получив скалярную кривизну:



Учитывая (4), имеем:



Коммутатор для контравариантный векора получаем, подняв индекс i в формуле (1):



Поскольку коммутатор ковариантных производных действует на произведение тензоров T U по правилу дифференциального оператора:



то мы можем, пользуясь формулами (1) и (11), вычислить действие коммутатора ковариантных производных на тензор, который является произведением векторов.
Но произвольный тензор можно представить линейной комбинацией таких элементарных тензоров, поэтому при действии коммутатора на произвольный тензор с любым количеством верхних и нижних индексов, имеем:



Тензор Римана удовлетворяющие двум тождества Бианки.
Алгебраическая тождество Бианки (циклическая перестановка индексов i j k):



Дифференциальная тождество Бианки (циклическая перестановка индексов p j k):