Тензор кривизны
Тензор кривизны
(Тензор внутренней кривизны многообразиях) появляется при рассмотрении коммутатора ковариантных производных ковариантного вектора (смотрите статью Дифференциальная геометрия)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133993_2a708ce18bc6559fd48b09f80c7552f9f.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134014_3538e276d82ea6d089c07d2f6eed0db5e.png)
Вместо ковариантных компонент a i можно подставить базисные векторы
:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133962_500253a27b27adf6ed2105c61fd13bee1.png)
И учитывая, что ковариантная производная от базисных векторов
равна векторам полной кривизны
(Смотрите Простые вычисления дифференциальной геометрии), имеем:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133962_85de70e00d95f51c6547bd03250b0ea1e.png)
Домножим формулу (3) скалярно на
, I учтем ортогональность векторов кривизны до многообразия:
. В результате получаем формулу для ковариантных компонент тензора Римана:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133978_111ce60d44f61f9c1854327b4ff444edb0.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133948_128651b1baa35ec53c016534cf01bbc424.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134039_137290ad9e7adfaa8d102ece3bf235c1cb.png)
или после смены знака и переименование индексов:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134012_14ab90e5ae3d3452e88ef10d560f95a046.png)
Как можно увидеть из последнего уравнения (в скалярных произведениях индексы k и l переставлены), тензор Римана антисимметричный по первой паре индексов i j и по второй паре индексов k l (при перестановке уменьшающееся и вычитаемое в правой части формулы (4) меняются местами) :
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133993_15f5943e2af29672217c2aa4933d974656.png)
Также легко видеть, что тензор Римана не меняется при перестановке первой пары индексов i j со второй парой индексов k l (при перестановке в множителях уменьшаемого индексы переставляются, но поскольку величины
симметричные по индексам, то скалярное произведение уменьшаемого не изменится; в вычитаемое аналогично, но сомножители в скалярном произведении меняются местами, не влияет на результат):
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298133953_163f4a2c4cbef0d40acaf046261f89fd89.png)
Свертка тензора Римана по первому и третьему индексам (или, что эквивалентно, по второму и четвертому индексах) дает симметричный тензор второго ранга R i k, который называется тензором Риччи:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298134036_172818eae77c19123dae990621c93790a3.png)
Тензор Риччи симметричен:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298133973_18b34be74f1689a4567fd83fe41c4b282b.png)
Тензор Риччи можно свернуть по индексам, получив скалярную кривизну:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298134023_19f53dbfa9448855de4764b8704f31eca4.png)
Учитывая (4), имеем:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133979_20cb42bda70c1a44c67a199b3e9e19d466.png)
Коммутатор для контравариантный векора получаем, подняв индекс i в формуле (1):
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134002_21ac5ec9fb8eaa2c0885a28e70524c4b6c.png)
Поскольку коммутатор ковариантных производных
действует на произведение тензоров T U по правилу дифференциального оператора:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134033_2396dbdab81b97a04bf74009ccc4ed71d7.png)
то мы можем, пользуясь формулами (1) и (11), вычислить действие коммутатора ковариантных производных на тензор, который является произведением векторов.
Но произвольный тензор можно представить линейной комбинацией таких элементарных тензоров, поэтому при действии коммутатора на произвольный тензор с любым количеством верхних и нижних индексов, имеем:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133973_248b3c824879817f1d3550ee51edcdf5d1.png)
Тензор Римана удовлетворяющие двум тождества Бианки.
Алгебраическая тождество Бианки (циклическая перестановка индексов i j k):
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134024_25d177fdb7b0749ae871e7d7204f50a9a8.png)
Дифференциальная тождество Бианки (циклическая перестановка индексов p j k):
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134004_26fe95346010c60a1b177fcc3b93ece9d3.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298134036_1be3ee5741b83e30a9d008cccaa9e831b.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133993_2a708ce18bc6559fd48b09f80c7552f9f.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134014_3538e276d82ea6d089c07d2f6eed0db5e.png)
Вместо ковариантных компонент a i можно подставить базисные векторы
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298133999_49fb7b3cd7588dfce2b8886243342b001.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133962_500253a27b27adf6ed2105c61fd13bee1.png)
И учитывая, что ковариантная производная от базисных векторов
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298134021_6c726b81f8ae6ae5b6b7d02ce009c6b10.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298133985_70e0720a56a8418112ad30e7966eccc9b.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133962_85de70e00d95f51c6547bd03250b0ea1e.png)
Домножим формулу (3) скалярно на
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298133962_96a09a7af93dc4d34a387e17c13acb209.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298134011_1040ac4f3d174b1637f2ba881885d9b782.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133978_111ce60d44f61f9c1854327b4ff444edb0.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133948_128651b1baa35ec53c016534cf01bbc424.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134039_137290ad9e7adfaa8d102ece3bf235c1cb.png)
или после смены знака и переименование индексов:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134012_14ab90e5ae3d3452e88ef10d560f95a046.png)
Как можно увидеть из последнего уравнения (в скалярных произведениях индексы k и l переставлены), тензор Римана антисимметричный по первой паре индексов i j и по второй паре индексов k l (при перестановке уменьшающееся и вычитаемое в правой части формулы (4) меняются местами) :
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133993_15f5943e2af29672217c2aa4933d974656.png)
Также легко видеть, что тензор Римана не меняется при перестановке первой пары индексов i j со второй парой индексов k l (при перестановке в множителях уменьшаемого индексы переставляются, но поскольку величины
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298133985_70e0720a56a8418112ad30e7966eccc9b.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298133953_163f4a2c4cbef0d40acaf046261f89fd89.png)
Свертка тензора Римана по первому и третьему индексам (или, что эквивалентно, по второму и четвертому индексах) дает симметричный тензор второго ранга R i k, который называется тензором Риччи:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298134036_172818eae77c19123dae990621c93790a3.png)
Тензор Риччи симметричен:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298133973_18b34be74f1689a4567fd83fe41c4b282b.png)
Тензор Риччи можно свернуть по индексам, получив скалярную кривизну:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298134023_19f53dbfa9448855de4764b8704f31eca4.png)
Учитывая (4), имеем:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133979_20cb42bda70c1a44c67a199b3e9e19d466.png)
Коммутатор для контравариантный векора получаем, подняв индекс i в формуле (1):
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134002_21ac5ec9fb8eaa2c0885a28e70524c4b6c.png)
Поскольку коммутатор ковариантных производных
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/1298133956_22ba90d1e9540ac117278e1c1a5120cb52.png)
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134033_2396dbdab81b97a04bf74009ccc4ed71d7.png)
то мы можем, пользуясь формулами (1) и (11), вычислить действие коммутатора ковариантных производных на тензор, который является произведением векторов.
Но произвольный тензор можно представить линейной комбинацией таких элементарных тензоров, поэтому при действии коммутатора на произвольный тензор с любым количеством верхних и нижних индексов, имеем:
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133973_248b3c824879817f1d3550ee51edcdf5d1.png)
Тензор Римана удовлетворяющие двум тождества Бианки.
Алгебраическая тождество Бианки (циклическая перестановка индексов i j k):
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134024_25d177fdb7b0749ae871e7d7204f50a9a8.png)
Дифференциальная тождество Бианки (циклическая перестановка индексов p j k):
![Тензор кривизны Тензор кривизны](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134004_26fe95346010c60a1b177fcc3b93ece9d3.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line1.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line2.png)
Дифференциальная геометрия
Дифференциальная геометрия – это математическая дисциплина применяющая методы математического анализа для изучения гладких кривых, поверхностей и, в общем виде, их n-мерных аналогов, которые
ПОДРОБНЕЕ
Уравнения Эйнштейна
Уравнения Эйнштейна – основные уравнения общей теории относительности. Неизвестной величиной в уравнениях Эйнштейна является метрический тензор g i k где R i k – тензор Риччи, R – скалярное
ПОДРОБНЕЕ
Многообразие
Многообразие – это объект, который локально имеет характер метрического пространства размерности n. Он имеет целочисленных размерность, которая указывает сколькими параметрами (координатами) можно
ПОДРОБНЕЕ
Тензоры Эйнштейна и Риччи
Наряду с серией кривизн Гаусса m-й степени: естественно появляются (смотрите статью Интегралы Гаусса) следующие две серии тензоров второго ранга. Тензор Эйнштейна m-й степени: и тензоры Риччи m-й
ПОДРОБНЕЕ
Метрический тензор
Величины, которые касаются геометрии – это расстояния, длины кривых, площади и объемы (в том числе m-мерные объемы) геометрических фигур, а также углы между векторами, прямыми и т.д. Рассмотрим
ПОДРОБНЕЕ