Тензоры Эйнштейна и Риччи
Наряду с серией кривизн Гаусса m-й степени:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134043_191e390eff45e791feb17bcb7fdca203b.png)
естественно появляются (смотрите статью Интегралы Гаусса) следующие две серии тензоров второго ранга.
Тензор Эйнштейна m-й степени:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133965_207862d43d1e5bd4d94dbcf7177e11243.png)
и тензоры Риччи m-й степени:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134034_38bbbdb6b4274a4f66a08880cf6b5e20d.png)
Из формул (2) и (3) легко видеть, что неполная свертка тензора Эйнштейна с тензором полной кривизны гиперповерхности равна тензора Риччи на единицу большего степени:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133964_467abe39359e32ef683b4ad26a6b287e6.png)
Легко также вычислить след (свертку) тензора Риччи:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133972_569a460743b650f1d51f7962afb5826f5.png)
Несколько сложнее вычислять след тензора Эйнштейна. Для этого надо воспользоваться следующим свойством тензора метрической матрешки:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133957_69d8d299f40685231e1ca280d6f4e9e05.png)
В результате имеем:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134049_72384e13a15b0a3c89b7017748cdb2bcc.png)
Поскольку тензор метрической матрешки перестановочных с ковариантной производной, то мы можем записать:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133992_8150b75cd75a348202118fc94bc35a82e.png)
Первое слагаемое в сумме симметричный по индексам (i, s 1) вследствие уравнения Петерсона-Кодацци (смотрите статью гиперповерхности):
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/1298134014_9d55acf67b8dc9e77b1784c48cd2ddb45.png)
Для вывода следующих формул, связывают тензоры Эйнштейна и Риччи, надо вывести формулу, как тензор метрической матрешки (что по определению равна определителю матрицы, составленной из дельта-символов) раскладывается по первой строке матрицы.
Пусть мы имеем тензор метрической матрешки 2 (m + 1) ранга, который записывается в виде определителя матрицы размером
. Запишем его расписание по первой строке:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134032_11ab90d2fcb59d2c6d97cfe8ebcdc984d3.png)
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133970_12611eb5ebedec8e16bab79157495b5013.png)
В правой части этой формулы
матрицы определителей слагаемых образуются в результате вычеркивания из матрицы разложения первой строки и соответственно первого, второго, третьего … столбцов. Знаки слагаемых чередуются. Формулу (10) можно записать также в обозначении тензора метрической матрешки:
p_1 dots p_m} dots + (-1) ^ {m-1} delta ^ i_ {p_m} g ^ {s_1 s_2 dots s_m} _ {j, p_1 dots p_ {m-1}} "src =" http://upload.wikimedia.org/math/3/d/8/3d8...7651f223c12.png "/>
Посмотрим внимательнее на первые три слагаемые, обращая внимание на соответствие верхних и нижних индексов тензора метрической матрешки. Первые два слагаемых в этом смысле удовлетворительные. Что касается третьего слагаемого, то формула станет в некотором смысле симетричнишою, если в тензора метричои матрешки мы переставим местами (с соответствующим изменением знака слагаемого) нижние индексы (j, p 1). Сделаем аналогичные изменения и для остальных слагаемых. В результате имеем следующую формулу:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133993_14df876359d6d4ecf02f6bd4d8925e2c35.png)
В этой формуле первое слагаемое стоит со знаком "плюс", а остальные m слагаемых со знаком "минус". Попутно отметим, что из формулы (11) легко следует формула свертки (6).
Можно получить еще одну формулу, аналогичную (11), если раскладывать определитель не по строке, а по столбцу:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133974_15718d4986f5b8368190e7c810943c8916.png)
Подставим разложение (12) в формулу (2). Получаем:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133965_16a7a9acf9e6f72c26a87694bd6633a11e.png)
При вскрытии скобок первое слагаемое дает в результате свертки
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/1298133995_17d72a7c031bc8688d3453d6aabd7692fd.png)
а остальные слагаемых, вследствие симметрии тензора метрической матрешки относительно перестановки "вертикальных" пар индексов, каждый дает одинаковый результат:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133999_187e5420edcf2adf548c9e1168964b6842.png)
Поскольку количество слагаемых (14) в правой части формулы (13) равна m, то имеем:
R ^ {[m] i} _j – K ^ {[m]} delta ^ i_j "src =" http://upload.wikimedia.org/math/8/d/6/8d6...245f1bf0651.png "/>
Поскольку согласно формуле (15) тензор Риччи отличается от тензора Эйнштейна добавлением симметричного тензора K [m] g i j, то нам достаточно доказать симметрию только одного, например тензора Эйнштейна. Жонглируя индексами (поднимая и опуская) в формуле (2), находим для коваиантних координат тензора Эйнштейна:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134043_19dd54927a1e8cb0be1a54609278282e84.png)
Поскольку тензор b i j симметричный, то мы можем в тензора метрической матрешки в формуле (16) переставить каждый индекс s i с соответствующим ему индексом p i:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134036_2034684906a41ef9997feff87ee14b422c.png)
Далее, тензор метрической матрешки симметричный относительно групп индексов. Переставляя группы индексов в Тезора метрической матрешки формулы (17), мы придем к правой части формулы (16) с переставленными индексами i, j. Следовательно
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/1298133971_21fc00113155801c8a3cad6e0e5e4269d4.png)
Аналогично тому, как это мы вычисляли для кривизн Гаусса, находим:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134037_226d658be9cc5f29110bb6bf5af5a22aa8.png)
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133963_23f66194e628bc5f9e1f60082a35dc27b3.png)
Следовательно для четных степеней тензоры Эйнштейна и Риччи являются объектами внутренней геометрии, а потому определенные для всех многообразий, а не только для гиперповерхонь.
Интересно, что все основные свойства тензоров Эйнштейна и Риччи (нулевая дивергенция тензора Эйнштейна, основной связь между тензором Эйнштейна и тензором Риччи, их симметрия) сохраняются для всех многообразий, если для их вывода пользоваться формулами (19), (20). Например вычислим дивергенцию тензора Эйнштейна:
Cdots "src =" http://upload.wikimedia.org/math/4/b/7/4b7...391100dc410.png "/>
Здесь выписаны только первое слагаемое от производной произведения, остальные слагаемых (с производными следующих сомножителей) аналогичны. В этом слагаемого обратим внимание на три индекса i, s 1, p 1 по которым ведется свертка. Эти три индекса попарно различны, поскольку они входят в одну антисимметрична группу индексов метрической матрешки, и в ходе свертки перебираются все перестановки (в том числе циклические) этих индексов. Но для тензора Римана сумма циклических перестановок равна нулю вследствие дифференциальной тождества Бианки:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133979_24e69d81ea6be09804f03979faf6d00572.png)
поэтому первое слагаемое в правой части формулы (21) равна нулю. Для остальных слагаемых аналогично.
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134043_191e390eff45e791feb17bcb7fdca203b.png)
естественно появляются (смотрите статью Интегралы Гаусса) следующие две серии тензоров второго ранга.
Тензор Эйнштейна m-й степени:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133965_207862d43d1e5bd4d94dbcf7177e11243.png)
и тензоры Риччи m-й степени:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134034_38bbbdb6b4274a4f66a08880cf6b5e20d.png)
Из формул (2) и (3) легко видеть, что неполная свертка тензора Эйнштейна с тензором полной кривизны гиперповерхности равна тензора Риччи на единицу большего степени:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133964_467abe39359e32ef683b4ad26a6b287e6.png)
Легко также вычислить след (свертку) тензора Риччи:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133972_569a460743b650f1d51f7962afb5826f5.png)
Несколько сложнее вычислять след тензора Эйнштейна. Для этого надо воспользоваться следующим свойством тензора метрической матрешки:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133957_69d8d299f40685231e1ca280d6f4e9e05.png)
В результате имеем:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134049_72384e13a15b0a3c89b7017748cdb2bcc.png)
Поскольку тензор метрической матрешки перестановочных с ковариантной производной, то мы можем записать:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133992_8150b75cd75a348202118fc94bc35a82e.png)
Первое слагаемое в сумме симметричный по индексам (i, s 1) вследствие уравнения Петерсона-Кодацци (смотрите статью гиперповерхности):
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/1298134014_9d55acf67b8dc9e77b1784c48cd2ddb45.png)
Для вывода следующих формул, связывают тензоры Эйнштейна и Риччи, надо вывести формулу, как тензор метрической матрешки (что по определению равна определителю матрицы, составленной из дельта-символов) раскладывается по первой строке матрицы.
Пусть мы имеем тензор метрической матрешки 2 (m + 1) ранга, который записывается в виде определителя матрицы размером
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/1298134042_109f264d86fb85ad409907aef7591e5634.png)
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134032_11ab90d2fcb59d2c6d97cfe8ebcdc984d3.png)
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133970_12611eb5ebedec8e16bab79157495b5013.png)
В правой части этой формулы
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/1298133988_13a3287fa319bc6de5b5c69db370a6183b.png)
p_1 dots p_m} dots + (-1) ^ {m-1} delta ^ i_ {p_m} g ^ {s_1 s_2 dots s_m} _ {j, p_1 dots p_ {m-1}} "src =" http://upload.wikimedia.org/math/3/d/8/3d8...7651f223c12.png "/>
Посмотрим внимательнее на первые три слагаемые, обращая внимание на соответствие верхних и нижних индексов тензора метрической матрешки. Первые два слагаемых в этом смысле удовлетворительные. Что касается третьего слагаемого, то формула станет в некотором смысле симетричнишою, если в тензора метричои матрешки мы переставим местами (с соответствующим изменением знака слагаемого) нижние индексы (j, p 1). Сделаем аналогичные изменения и для остальных слагаемых. В результате имеем следующую формулу:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133993_14df876359d6d4ecf02f6bd4d8925e2c35.png)
В этой формуле первое слагаемое стоит со знаком "плюс", а остальные m слагаемых со знаком "минус". Попутно отметим, что из формулы (11) легко следует формула свертки (6).
Можно получить еще одну формулу, аналогичную (11), если раскладывать определитель не по строке, а по столбцу:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133974_15718d4986f5b8368190e7c810943c8916.png)
Подставим разложение (12) в формулу (2). Получаем:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133965_16a7a9acf9e6f72c26a87694bd6633a11e.png)
При вскрытии скобок первое слагаемое дает в результате свертки
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/1298133995_17d72a7c031bc8688d3453d6aabd7692fd.png)
а остальные слагаемых, вследствие симметрии тензора метрической матрешки относительно перестановки "вертикальных" пар индексов, каждый дает одинаковый результат:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133999_187e5420edcf2adf548c9e1168964b6842.png)
Поскольку количество слагаемых (14) в правой части формулы (13) равна m, то имеем:
R ^ {[m] i} _j – K ^ {[m]} delta ^ i_j "src =" http://upload.wikimedia.org/math/8/d/6/8d6...245f1bf0651.png "/>
Поскольку согласно формуле (15) тензор Риччи отличается от тензора Эйнштейна добавлением симметричного тензора K [m] g i j, то нам достаточно доказать симметрию только одного, например тензора Эйнштейна. Жонглируя индексами (поднимая и опуская) в формуле (2), находим для коваиантних координат тензора Эйнштейна:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134043_19dd54927a1e8cb0be1a54609278282e84.png)
Поскольку тензор b i j симметричный, то мы можем в тензора метрической матрешки в формуле (16) переставить каждый индекс s i с соответствующим ему индексом p i:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134036_2034684906a41ef9997feff87ee14b422c.png)
Далее, тензор метрической матрешки симметричный относительно групп индексов. Переставляя группы индексов в Тезора метрической матрешки формулы (17), мы придем к правой части формулы (16) с переставленными индексами i, j. Следовательно
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/1298133971_21fc00113155801c8a3cad6e0e5e4269d4.png)
Аналогично тому, как это мы вычисляли для кривизн Гаусса, находим:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298134037_226d658be9cc5f29110bb6bf5af5a22aa8.png)
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133963_23f66194e628bc5f9e1f60082a35dc27b3.png)
Следовательно для четных степеней тензоры Эйнштейна и Риччи являются объектами внутренней геометрии, а потому определенные для всех многообразий, а не только для гиперповерхонь.
Интересно, что все основные свойства тензоров Эйнштейна и Риччи (нулевая дивергенция тензора Эйнштейна, основной связь между тензором Эйнштейна и тензором Риччи, их симметрия) сохраняются для всех многообразий, если для их вывода пользоваться формулами (19), (20). Например вычислим дивергенцию тензора Эйнштейна:
Cdots "src =" http://upload.wikimedia.org/math/4/b/7/4b7...391100dc410.png "/>
Здесь выписаны только первое слагаемое от производной произведения, остальные слагаемых (с производными следующих сомножителей) аналогичны. В этом слагаемого обратим внимание на три индекса i, s 1, p 1 по которым ведется свертка. Эти три индекса попарно различны, поскольку они входят в одну антисимметрична группу индексов метрической матрешки, и в ходе свертки перебираются все перестановки (в том числе циклические) этих индексов. Но для тензора Римана сумма циклических перестановок равна нулю вследствие дифференциальной тождества Бианки:
![Тензоры Эйнштейна и Риччи Тензоры Эйнштейна и Риччи](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133979_24e69d81ea6be09804f03979faf6d00572.png)
поэтому первое слагаемое в правой части формулы (21) равна нулю. Для остальных слагаемых аналогично.
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line1.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line2.png)
Теорема Нетер
Теорема Нетер – утверждение в теоретической физике, согласно которому каждой дифференцируемы симметрии соответствует интеграл движения. Например, однородности пространства соответствует закон
ПОДРОБНЕЕ
Уравнения Эйнштейна
Уравнения Эйнштейна – основные уравнения общей теории относительности. Неизвестной величиной в уравнениях Эйнштейна является метрический тензор g i k где R i k – тензор Риччи, R – скалярное
ПОДРОБНЕЕ
Метрический тензор
Величины, которые касаются геометрии – это расстояния, длины кривых, площади и объемы (в том числе m-мерные объемы) геометрических фигур, а также углы между векторами, прямыми и т.д. Рассмотрим
ПОДРОБНЕЕ
Тензор кривизны
Тензор кривизны (Тензор внутренней кривизны многообразиях) появляется при рассмотрении коммутатора ковариантных производных ковариантного вектора (смотрите статью Дифференциальная геометрия) Вместо
ПОДРОБНЕЕ
4-тензор
4-тензор – математический объект, используемый для описания поля в релятивистской физике, тензор, определенный в четырехмерном пространстве-времени, повороты системы отсчета в котором включают как
ПОДРОБНЕЕ
Гравитационные волны
Одним из выводов уравнения Эйнштейна для гравитационного поля: является существование гравитационных волн. Эти волны имеют обычно очень малую амплитуду, исключением может быть разве что экзотический
ПОДРОБНЕЕ