Момент инерции

Момент инерции (единица измерения в системе [кг м 2]) – в физике является мерой инерции вращательного движения, аналогично массе для поступательного.
В общем случае, значение момента инерции объекта зависит от его формы и распределения массы в объеме: чем больше массы сконцентрировано дальше от центра масс тела, тем больше его момент инерции. Также его значение зависит от выбранной оси вращения.
Твердое тело можно рассматривать как систему из бесконечного количества материальных точек, каждая с массой m i. Если расстояния от каждой точки до оси вращения равны r i, то момент инерции тела к выбранной оси определяется как:



В условиях непрерывного распределения массы в теле, нужен переход к интегральной формы закона:



где элемент массы определяется с помощью пространственного распределения плотности .



В общем случае вращения твердого тела произвольной формы сложнее. Тело характеризуется тензором второго ранга
где индексы ? и ? пробегают значения координат x, y, z.
Тензор инерции симметричный

I ?? = I ??.

Как и для любого другого тенозру второго ранга, его можно упростить, перейдя к системе координат, в которой он имеет диагональную форму (главной системы координат). Оси главной системы координат называют главными осями инерции.
Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела относительно этой оси. Согласно теореме Штейнера (теоремой Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр массы тела параллельно оси, рассматривается, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями между осями:




Момент импульса тела при вращении зависит от вектора угловой скорости и тензора инерциии
В главной системе координат

.

Кинетическая энергия вращения тела задается формулой



В главной системе координат



По аналогии со вторым законом Ньютона для поступательного движения, можно сформулировать уравнения вращательного движения, где внешним силам, которые действуют на тело, отвечают моменты сил, массе – момент инерции, а ускорению – угловое ускорение.
При одноосном вращении



Здесь M i – моменты внешних сил, – Угловая скорость, – Угловое ускорение.