Алгебра

Алгебра (от арабского аль-джебр – восстановление) – раздел математики, изучающий свойства действий над различными величинами и развязки уравнения, связанных с этими действиями. Изучение свойств композиций разного вида в 19 веке привело к мысли, что основная задача алгебры – изучение свойств операций независимо от объектов, к которым они применяются. С тех пор алгебра стала рассматриваться как общая наука о свойствах и законы композиции операций. В наши дни алгебра – одна из важнейших частей математики, находит применение как в чисто теоретических, так и в практических областях науки.

Древний мир

Решим задачу: "Возраст трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возраста обоих младших братьев?" Обозначив искомую величину как х, составим уравнение: 30 + х = (20 + х) + (6 + х), откуда х = 4. Близкий к описанному метод решения был известен еще во II тысячелетии до н. э переписчикам древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах есть не только задачи, приводящие к уравнениям первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте братьев, но и задачи, приводящие к уравнениям вида aх = b (см. Квадратное уравнение).

Еще более сложные задачи умели решать в начале II тысячелетия до н. е. в древнем Вавилоне: в математических текстах, выполненных клинописью на глиняных табличках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали буквенных обозначений, а приводили развязки типовых задач, сводя решение аналогичных задач к замене числовых значений. В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было найти квадратный корень числа а, которое не является точным квадратом, приближенное значение корня х находили как среднее арифметическое чисел х и а / х.

Первые общие утверждения о тождественных преобразования встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в. до н. н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о добавлении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел как объем прямоугольного параллелепипеда. Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. Таким образом термины "квадрат числа" (т. е. произведение величины на себя), «куб числа», «среднее геометрическое". Геометрическую форму приняло у греков и решение квадратных уравнений – они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Большинство задач в Греции решался путем построений циркулем и линейкой (см. Геометрические построения). Но не все задачи могли быть решены такими методами. Примерами таких задач является удвоение куба, Трисекция угла, задачи построения правильного семиугольника (см. Классические задачи давности). Все они сводились к кубических уравнений вида х = 2, 4х – З = а и х + х – 2х – 1 = 0 соответственно. Для решения этих задач был разработан новый метод, – отыскание точек пересечения конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы).

Геометрический подход к алгебраическим проблемам ограничивал дальнейшее развитие науки. Например, нельзя было добавлять величины разных размерностей (длины, площади, объем), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т.д. Идея отказа от геометрического трактовка появилась у Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге "Арифметика" появляются зачатки буквенной символики и специальные обозначения для степеней вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для отрицательных степеней, отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для сложения еще не было), краткая запись правил умножения положительных и отрицательных чисел. На дальнейшее развитие алгебры сильное влияние оказали Диофантом задачи, приводящие к сложным системам алгебраических уравнений, в том числе к системам, где число уравнений было меньше числа неизвестных. Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения (см. Диофантовы уравнения).

С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию, Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную отрасль математики, занимающаяся решением уравнений. В IX в. узбекский математик и астроном Мухаммед аль-Хорезми написал трактат "Китаб аль-джебр валь-мукабала», где дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль-джебр» (восстановление), от которого новая наука получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной части в другую с изменением знака. Ученые Востока изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней. В Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок. 1170 – после 1228). Его «Книга абака» (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см. Числа Фибоначчи). Первым крупным самостоятельным достижением западноевропейских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. Дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени (см. Алгебраическое уравнение). Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к открытию комплексных чисел.

Развитие символики


Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходилось излагать в словесной форме. В конце XVI в. французский математик Ф. Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, и для произвольных постоянных величин. Символика Виета была усовершенствована его последователями. Окончательный вид ей придал в XVII в. французский философ и математик Р. Декарт, который ввел (употребляемые поныне) обозначения для показателей степеней.

Постепенно расширялся запас чисел, с которыми можно было выполнять действия. Завоевали права гражданства отрицательные числа, затем – комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа. При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу. Наконец, Декарту удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы. Все это позволило рассматривать вопросы решения уравнений в общем виде, применять уравнения к решению геометрических задач. Например, задача о нахождении точки пересечения двух прямых свелась к решению системы уравнений, которым удовлетворяли точки этих прямых. Такой метод решения геометрических задач получил название аналитической геометрии.

Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения относительно алгебраических уравнений: теорема Безу о делимости многочлена P (х) на двучлен (х – а), где a – корень этого многочлена; формула Виета для соотношения между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; правила, позволяют оценивать количество действительных корней уравнения; общие методы исключения неизвестных из систем уравнений и т.д.

Дальнейшие успехи в традиционных задач алгебры

Особенно далеко в сфере решения систем линейных уравнений удалось продвинуться в XVIII в. – Для них были получены формулы, позволяющие выразить решение через коэффициенты и свободные члены. Дальнейшее изучение таких систем уравнений привело к теории матриц и определителей. В конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение носит название основной теоремы алгебры. В течение двух с половиной столетий внимание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего уравнения 5-й степени. Надо было выразить решение этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и корней (решить уравнение в радикалах). Лишь в XIX в. итальянец П. Руффини и норвежец Н. Абель независимо друг от друга доказали, что такой формулы не существует. Эти исследования были завершены французским математиком Э. Галуа, методы которого позволили для такого уравнения определить, решается ли оно в радикалах или нет. Один из величайших математиков – К. Гаусс выяснил, когда можно построить циркулем и линейкой правильный n-угольник: данная задача была напрямую связана с изучением корней уравнения x n = 1. Выяснилось, что она разрешима только тогда, когда число n является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. Тем самым молодой студент (Гауссу было тогда 19 лет) решил задачу, которой безуспешно занимались ученые более двух тысячелетий.

Расширение области исследований алгебры

В начале XIX, была решена основные задачи, стоявшие перед алгеброй в первом тысячелетии ее развития. Алгебра получила самостоятельное обоснование, не опирающееся на геометрические понятия, а алгебраические методы стали применяться для решения геометрических задач. Были разработаны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и построена строгая теория комплексных чисел. Стороннему наблюдателю могло показаться, что теперь математики будут решать новые классы алгебраических уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако развитие алгебры стала развиваться иным путем: из науки о буквенные исчисления и уравнения она превратилась в общую науку об операциях и их свойства.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных чисел» – чисел с несколькими "мнимыми единицами". Такую систему чисел, имевших вид a + bi + cj + dk, где i 2 = j 2 = k 2 = -1, построил в 1843 г. ирландский математик В. Гамильтон, назвав их «кватернионами». Правила действий над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако операция умножения не является коммутативной: например, ij = k, а ji = – k.

С операциями, свойства которых лишь отчасти напоминают свойства арифметических операций, математики XIX в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г. английский математик А. Кэли ввел общую операцию умножения матриц и изучил ее свойства. Оказалось, что к умножению матриц сводится много изученных ранее операции. Английский логик Джордж Буль в середине XIX в. начал изучать операции над высказываниями, позволявшие из двух данных высказываний построить третье, а в конце XIX в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над множествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что и как в случае операций над высказываниями, так операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативностью и дистрибутивности, но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.

Таким образом в течение XIX в. возникли различные виды алгебр: обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, матриц, высказываний, множеств. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно поэтому формулы для рациональных чисел, оказываются верными и для любых действительных (и даже любых комплексных) чисел. Одинаковыми оказались правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это привело к абстрактного понятия композиции, т.е. операции, которая каждой паре (a, b) элементов определенного множества ставит в соответствие третий элемент этого же множества. Композициями являются сложения и умножения натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел, умножение матриц, пересечение и объединение подмножеств определенного множества и т.д. А вычитание и деление в поле натуральных чисел не являются композициями, потому что разница и доля могут не быть натуральными числами.

Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная задача алгебры – изучение свойств операций независимо от объектов, к которым они применяются. Иначе говоря, – алгебра стала рассматриваться как общая наука о свойствах и законы композиции операций. При этом два множества, в каждой из которых определены композиции, стали считать тождественными с точки зрения алгебры (изоморфными), если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композициями изоморфны, то, изучая одну из них, узнаем алгебраические свойства другой.

Поскольку совокупность различных множеств с заданными в них законами композиции ограничено, было выделено типа таких множеств, которые хотя и не изоморфны, однако имеют общие свойства композиции. Например, изучив свойства операций сложения и умножения над множествами рациональных, действительных и комплексных чисел, математики создали общее понятие поля – множества, где определены эти две операции, причем выполняются их обычные свойства. Исследование операции умножения матриц привело к выделению понятия группы, которое является сейчас одним из важнейших не только в алгебре, и во всей математике.