Дифференциальное исчисление

График функции, обозначены черным цветом, и касательная к нему (красный цвет). Значение тангенса угла наклона касательной, проведенной к кривой в точке, является значение производной в этой точке (коричневый цвет) Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения в исследовании свойств функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Лейбница. Именно они четко сформировали основные положения и указали на взаимообратные характер диференцюювання и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.
Дифференциальное исчисление основывается на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математического анализа: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Точнее дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малом окрестности каждой точки близка к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.
Понятие производной возникло из большого количества задач естественных наук и математики, которые сводились к вычислению пределов одного и того же типа. Самые главные среди них – определение скорости прямолинейного движения точки и выстраивание касательной к графику функции.
Вычисление скорости
Если движение точки является прямолинейным равномерным, то скорость не меняется со временем и определяется как отношение пройденного пути на время, которое было потрачено на это. Однако, если движение является неравномерным, то скорость есть функция времени, поскольку по одинаковые промежутки времени пройден путь будет разным. Например, свободное падение тел. Закон движения такого тела задается формулой, где s – пройденный путь с начала падения (в метрах), t – время падения (в секундах), g – постоянная величина, которая называется ускорением свободного падения, м / с 2. Таким образом за первую секунду падения тело пройдет (примерно) 4,9 м, за вторую – 14,7 м, а за десятую – 93,2 м, то есть падение происходит неравномерно. Поэтому определение скорости как отношение пути ко времени здесь не может быть использованным. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t. Она (скорость) определяется как отношение длины пути, который пройден за этот промежуток времени, к его продолжительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. Для нашего примера средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + t равна:
При неограниченном уменьшении промежутка t, выражение (1) постепенно приближается к g t. Эту величину называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в любой момент движения определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.
В общем случае эти расчеты необходимо проводить для любого момента времени t, промежутка времени от t до t + t и закона движения, виржаеться формуле s = f (t). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t до t + t задается формулой, где s = f (t + t) – f (t), а скорость движения в момент времени t равна:
Основные преимущества скорости в данный момент, или мгновенной скорости, перед средней в том, что она является функцией времени как и закон движения, а не функцией интервала (t, t + t). Однако, мгновенная скорость является некоторой абстракцией, поскольку непосредственному измерению подлежит только средняя скорость, а не мгновенная.
Построение касательной
Построение касательной к графику функции К выражения типа (2) сводится задача построения касательной к плоскости кривой в некоторой точке M. Пусть кривая Г есть график функции y = f (x). Положение касательной можно найти если знать ее угловой коэффициент, то есть тангенс угла, который касательная образует с положительным направлением оси O x.
Обозначим через x 0 абсциссу точки M, а через x 1 = x 0 + x – абсциссу точки M 1. Угловой коэффициент секущей M M 1 равна:
,
где y = M 1 N = f (x 0 + x) – f (x 0) – приращение функции на промежутке [x 0, x 1]. Если определять касательную в точке M как предельное положение секущей M M 1 при x 1 стремится к нулю, то получим:
.
Понятие производной

Подробнее в статье Производная


Итак, если не считать механический и геометрический смысл предыдущих задач, а выделить совместных метод их решения приходим к понятию производной. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел (если эта граница существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, стремится к нулю так что:
.
С помощью производной можно определить силу тока, как предел, где q – положительный электрический заряд, который проходит через проводник за время t, а также много других задач физики и химии.
Производную функции y = f (x) обозначают.
Если функция y = f (x) имеет производную в точке x 0, то она определена как в самой точке x 0, так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x 0. Однако обратное смысла не имеет. Например, непрерывная в каждой точке функция, графиком которой является биссектрисы первого и второго координатных углов, при x = 0 не имеет производной, поскольку отношения не имеет предела при: если x> 0це отношение равно + 1, а если x