» » Дельта-функция

Дельта-функция

?-функция – это обобщенная функция, формально определяется как непрерывный линейный функционал в пространстве дифференцируемых функций. ?-функция не является функцией в классическом понимании.
Введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. Например, плотность точечной массы m, находящейся в точке a евклидова пространства Дельта-функция, Записывается с помощью ?-функции в виде Дельта-функция.
?-функция определяется формальным соотношением

Дельта-функция

для любой непрерывной функции Дельта-функция.
Для дельта-функции одной переменной верны следующие равенства:
Во многих случаях удобным оказывается такое представление дельта-функции:
Рассмотрим интеграл

Дельта-функция, (1)

который можно интерпретировать как предел

Дельта-функция. (2)

Известно, что

Дельта-функция. (3)

В силу (3) для любого Дельта-функция справедливо равенство:

Дельта-функция. (4)

Можно показать, что при неограниченном росте Дельта-функция оказываются верными все свойства дельта-функции и функции (2) направляется в Дельта-функция ; Это позволяет сделать вывод, что:

Дельта-функция.

Фундаментальный выражение, описывающий производную дельта-функции ? (x):

Дельта-функция.

Подставив Дельта-функция, Получим выражение:

Дельта-функция.

После преобразования имеем:

Дельта-функция.

Поскольку Дельта-функция, Получаем окончательное выражение

Дельта-функция.

В общем виде выражение производной дельта-функции записывается так:

Дельта-функция.

Для производной дельта-функции верны следующие тождества:

Дельта-функция ;


Дельта-функция ;


Дельта-функция.

До начала координат x (t) = ? (t) можно применить преобразование Фурье:

Дельта-функция

в результате получается, что спектр ?-функции является константой: F (?) = 1.
Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. Т.е. функция показано выше функции:

Дельта-функция.

Следовательно, применив преобразование Фурье к дельта-функции

Дельта-функция,

получим ее образ в виде:

Дельта-функция.

В двумерном пространстве:

Дельта-функция ;


Дельта-функция.

В полярных координатах:

Дельта-функция.

В трехмерном пространстве:

Дельта-функция ;


Дельта-функция.

В цилиндрической системе:

Дельта-функция.

В сферической системе координат:

Дельта-функция.

Дельта-функция График функции Хевисайда, производная от которой – дельта-функция Дельта-функция Дельта-функция

Мгновенное ускорение
Примером применения дельта-функции Дирака может служить задача о столкновении двух тел. Если на ударе налетает другое, то оба тела получают ускорение и скорость. Как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график скорости от времени. График будет иметь вид, показанный на верхнем рисунке справа. На нижнем рисунке приведен график дельта-функции с единичной амплитудой, он отражает мгновенный процесс набора скорости телом.
Принимая во внимание то, что модель рассматривается в евклидовом пространстве, можно записать следующее уравнение:

a (t) = ?? (tt a).

Функция Грина
Другие примеры Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом Дельта-функция волновые функции локализуются в дельта-функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям по уравнениям Ньютона. Через дельта-функцию, также записуется функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщенные функции над многообразием M в точке x 0. Уравнение имеет вид Дельта-функция.
где Дельта-функция – Оператор Лапласа.
Важно отметить следующую формулу

Дельта-функция,

где

Дельта-функция – Функция Грина.

Это выражение следует из того, что Дельта-функция ведет себя подобно дельта-функции.. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала:

Дельта-функция

удовлетворяет уравнению Пуассона:

Дельта-функция.

Таким образом, дельта-функция является мощным математическим аппаратом для описания сложных физических процессов.

Просмотров: 5239
Дата: 19-02-2011

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление
Вариационное исчисление – это раздел функционального анализа, который занимается дифференцированием функционалов. Примечание: функционалы можно интегрировать по пространству функций. Эту операцию
ПОДРОБНЕЕ

Собственная функция

Собственная функция
Собственной функцией линейного оператора L с собственным значением ? называется такая ненулевая функция f, для которой выполняется соотношение L (f) = ? f, где ? это определенное число
ПОДРОБНЕЕ

Амплитуда вероятности

Амплитуда вероятности
Амплитуда вероятности – комплексная величина, квадрат модуля которой задает плотность вероятности. В частности, в квантовой механике волновая функция ? является амлитудою вероятности нахождения
ПОДРОБНЕЕ

Функция распределения вероятностей

Функция распределения вероятностей
Функция распределения вероятностей – В теории вероятностей это функция, которая полностью описывает распределение вероятностей случайной величины. Пусть – Вероятностное пространство, в котором ? –
ПОДРОБНЕЕ

Корреляционная функция

Корреляционная функция
Корреляционная функция – функция времени или пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами. Зависящая от времени корреляция двух случайных функций X (t) и
ПОДРОБНЕЕ

Волновая функция

Волновая функция
Волновая функция, или пси-функция – Основной математический объект квантовой механики при ее формулировке, как волновой механики. В простейшем случае это комплексная квадратично интегрируема функция
ПОДРОБНЕЕ
О сайте
Наш сайт создан для тех, кто хочет получать знания.
В нашем мире есть еще столько интересных вещей, мест, мыслей, светлых идей, о которых нужно обязательно узнать!
Авторизация