Дельта-функция

?-функция – это обобщенная функция, формально определяется как непрерывный линейный функционал в пространстве дифференцируемых функций. ?-функция не является функцией в классическом понимании.
Введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. Например, плотность точечной массы m, находящейся в точке a евклидова пространства , Записывается с помощью ?-функции в виде .
?-функция определяется формальным соотношением



для любой непрерывной функции .
Для дельта-функции одной переменной верны следующие равенства:
Во многих случаях удобным оказывается такое представление дельта-функции:
Рассмотрим интеграл

, (1)

который можно интерпретировать как предел

. (2)

Известно, что

. (3)

В силу (3) для любого справедливо равенство:

. (4)

Можно показать, что при неограниченном росте оказываются верными все свойства дельта-функции и функции (2) направляется в ; Это позволяет сделать вывод, что:

.

Фундаментальный выражение, описывающий производную дельта-функции ? (x):

.

Подставив , Получим выражение:

.

После преобразования имеем:

.

Поскольку , Получаем окончательное выражение

.

В общем виде выражение производной дельта-функции записывается так:

.

Для производной дельта-функции верны следующие тождества:

;


;


.

До начала координат x (t) = ? (t) можно применить преобразование Фурье:



в результате получается, что спектр ?-функции является константой: F (?) = 1.
Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. Т.е. функция показано выше функции:

.

Следовательно, применив преобразование Фурье к дельта-функции

,

получим ее образ в виде:

.

В двумерном пространстве:

;


.

В полярных координатах:

.

В трехмерном пространстве:

;


.

В цилиндрической системе:

.

В сферической системе координат:

.

График функции Хевисайда, производная от которой – дельта-функция Дельта-функция

Мгновенное ускорение
Примером применения дельта-функции Дирака может служить задача о столкновении двух тел. Если на ударе налетает другое, то оба тела получают ускорение и скорость. Как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график скорости от времени. График будет иметь вид, показанный на верхнем рисунке справа. На нижнем рисунке приведен график дельта-функции с единичной амплитудой, он отражает мгновенный процесс набора скорости телом.
Принимая во внимание то, что модель рассматривается в евклидовом пространстве, можно записать следующее уравнение:

a (t) = ?? (t – t a).

Функция Грина
Другие примеры Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом волновые функции локализуются в дельта-функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям по уравнениям Ньютона. Через дельта-функцию, также записуется функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщенные функции над многообразием M в точке x 0. Уравнение имеет вид .
где – Оператор Лапласа.
Важно отметить следующую формулу

,

где

– Функция Грина.

Это выражение следует из того, что ведет себя подобно дельта-функции.. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала:



удовлетворяет уравнению Пуассона:

.

Таким образом, дельта-функция является мощным математическим аппаратом для описания сложных физических процессов.