Дельта-функция
?-функция – это обобщенная функция, формально определяется как непрерывный линейный функционал в пространстве дифференцируемых функций. ?-функция не является функцией в классическом понимании.
Введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. Например, плотность точечной массы m, находящейся в точке a евклидова пространства
, Записывается с помощью ?-функции в виде
.
?-функция определяется формальным соотношением
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133663_3e5007889caa20fb8b71793957ce47fa5.png)
для любой непрерывной функции
.
Для дельта-функции одной переменной верны следующие равенства:
Во многих случаях удобным оказывается такое представление дельта-функции:
Рассмотрим интеграл
, (1)
который можно интерпретировать как предел
. (2)
Известно, что
. (3)
В силу (3) для любого
справедливо равенство:
. (4)
Можно показать, что при неограниченном росте
оказываются верными все свойства дельта-функции и функции (2) направляется в
; Это позволяет сделать вывод, что:
.
Фундаментальный выражение, описывающий производную дельта-функции ? (x):
.
Подставив
, Получим выражение:
.
После преобразования имеем:
.
Поскольку
, Получаем окончательное выражение
.
В общем виде выражение производной дельта-функции записывается так:
.
Для производной дельта-функции верны следующие тождества:
;
;
.
До начала координат x (t) = ? (t) можно применить преобразование Фурье:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133640_22f7210b3492abf819b1ff69dedb75dd2e.png)
в результате получается, что спектр ?-функции является константой: F (?) = 1.
Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. Т.е. функция показано выше функции:
.
Следовательно, применив преобразование Фурье к дельта-функции
,
получим ее образ в виде:
.
В двумерном пространстве:
;
.
В полярных координатах:
.
В трехмерном пространстве:
;
.
В цилиндрической системе:
.
В сферической системе координат:
.
График функции Хевисайда, производная от которой – дельта-функция
Дельта-функция
Мгновенное ускорение
Примером применения дельта-функции Дирака может служить задача о столкновении двух тел. Если на ударе налетает другое, то оба тела получают ускорение и скорость. Как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график скорости от времени. График будет иметь вид, показанный на верхнем рисунке справа. На нижнем рисунке приведен график дельта-функции с единичной амплитудой, он отражает мгновенный процесс набора скорости телом.
Принимая во внимание то, что модель рассматривается в евклидовом пространстве, можно записать следующее уравнение:
a (t) = ?? (t – t a).
Функция Грина
Другие примеры Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом
волновые функции локализуются в дельта-функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям по уравнениям Ньютона. Через дельта-функцию, также записуется функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщенные функции над многообразием M в точке x 0. Уравнение имеет вид
.
где
– Оператор Лапласа.
Важно отметить следующую формулу
,
где
– Функция Грина.
Это выражение следует из того, что
ведет себя подобно дельта-функции.. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133608_4110cb6f62d68c5811a71a34b41483547f.png)
удовлетворяет уравнению Пуассона:
.
Таким образом, дельта-функция является мощным математическим аппаратом для описания сложных физических процессов.
Введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. Например, плотность точечной массы m, находящейся в точке a евклидова пространства
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133608_1f65c4f70e25cf0c782818fa85ab12bb7.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133646_2ccb78ffd52b141a02f53bd7a8ccb3521.png)
?-функция определяется формальным соотношением
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133663_3e5007889caa20fb8b71793957ce47fa5.png)
для любой непрерывной функции
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133579_4550f51512f9bb16a0f613ae65e1d3088.png)
Для дельта-функции одной переменной верны следующие равенства:
Во многих случаях удобным оказывается такое представление дельта-функции:
Рассмотрим интеграл
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133571_547aaa3f54f1eb7cce80045a637599396.png)
который можно интерпретировать как предел
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133661_6d087982d147b6631b7ca218227a60f56.png)
Известно, что
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133621_72b08084cb205b4d5b5aad3ef0b3b17ea.png)
В силу (3) для любого
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133658_8beed584371120e11bf20723d0f22e52e.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133565_90ab0a192a03b00f084dc3e536fc84782.png)
Можно показать, что при неограниченном росте
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133658_8beed584371120e11bf20723d0f22e52e.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133639_10783045e83c1e5537366bd7c85dd9af27.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133596_11d741c4a41c7793c18fe67f212cb805c4.png)
Фундаментальный выражение, описывающий производную дельта-функции ? (x):
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133579_12649b6072b77c419cfc30e9b183e61bd4.png)
Подставив
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133574_13cd7aad2c1b8b8ec9b2ee5da351acedd5.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133644_14d20015f5751f2a845e5dab2110ba2e01.png)
После преобразования имеем:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133617_15b1e7a682aee4783828e599981f992213.png)
Поскольку
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133608_16b4e2f9f3e52df81c7d3e4f6e22a8e891.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133600_17e77b4edf31147716d9e763b5ec65375b.png)
В общем виде выражение производной дельта-функции записывается так:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133566_18f07e77b634c79f1792dec70bdd43d3a8.png)
Для производной дельта-функции верны следующие тождества:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133626_194f8039cad1d4a97e5d7e7fbf013903df.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133622_206c04749bb87b010946a687e0d00cffd2.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133647_214056d423535ce045306899668089b8f8.png)
До начала координат x (t) = ? (t) можно применить преобразование Фурье:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133640_22f7210b3492abf819b1ff69dedb75dd2e.png)
в результате получается, что спектр ?-функции является константой: F (?) = 1.
Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. Т.е. функция показано выше функции:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133590_23122e95cf2c0919bde3ed56e1dc469da2.png)
Следовательно, применив преобразование Фурье к дельта-функции
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133633_24731425c679edb426920424eef8cb37e8.png)
получим ее образ в виде:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133583_250c20da8c42e4c311abb40dbd012b9635.png)
В двумерном пространстве:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133621_262d8baa2763812bf5cc82678f134a280f.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133597_274aeb453c954ad4937071b62b62456947.png)
В полярных координатах:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133652_28341cdb2d6423b4922e90b4e1ce570ed1.png)
В трехмерном пространстве:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133662_297d5acf5fd007b6f2330dd10249fd5292.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133638_3075c52924c28c27b4c07ead433864fc8a.png)
В цилиндрической системе:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133625_31241d9afd611556450f67afb60986c728.png)
В сферической системе координат:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133574_327f75a6ffd38cfc8d267cc194cf5c620b.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133593_33CDF.svg.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298133623_34PDF.svg.png)
Мгновенное ускорение
Примером применения дельта-функции Дирака может служить задача о столкновении двух тел. Если на ударе налетает другое, то оба тела получают ускорение и скорость. Как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график скорости от времени. График будет иметь вид, показанный на верхнем рисунке справа. На нижнем рисунке приведен график дельта-функции с единичной амплитудой, он отражает мгновенный процесс набора скорости телом.
Принимая во внимание то, что модель рассматривается в евклидовом пространстве, можно записать следующее уравнение:
a (t) = ?? (t – t a).
Функция Грина
Другие примеры Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133572_35b9f70f95f10ee9b762f731390cf2c569.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133582_36e343cc977718b9a343bdeeca21a2baa2.png)
где
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133655_376dd8035713e67f816cb0b819cf492ffd.png)
Важно отметить следующую формулу
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133581_38078a3fafc30e31a3bfcf7a71b10e1f8e.png)
где
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133592_3913db286f93a081595a4a0769919b2fec.png)
Это выражение следует из того, что
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133629_40c9844b5504b191828f181bbaa58c75ab.png)
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133608_4110cb6f62d68c5811a71a34b41483547f.png)
удовлетворяет уравнению Пуассона:
![Дельта-функция Дельта-функция](/uploads/posts/2011-02/1298133650_42dfc04ab46e67a9cb898886c9c6cdb40e.png)
Таким образом, дельта-функция является мощным математическим аппаратом для описания сложных физических процессов.
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line1.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line2.png)
Вариационное исчисление
Вариационное исчисление – это раздел функционального анализа, который занимается дифференцированием функционалов. Примечание: функционалы можно интегрировать по пространству функций. Эту операцию
ПОДРОБНЕЕ
Собственная функция
Собственной функцией линейного оператора L с собственным значением ? называется такая ненулевая функция f, для которой выполняется соотношение L (f) = ? f, где ? это определенное число
ПОДРОБНЕЕ
Амплитуда вероятности
Амплитуда вероятности – комплексная величина, квадрат модуля которой задает плотность вероятности. В частности, в квантовой механике волновая функция ? является амлитудою вероятности нахождения
ПОДРОБНЕЕ
Функция распределения вероятностей
Функция распределения вероятностей – В теории вероятностей это функция, которая полностью описывает распределение вероятностей случайной величины. Пусть – Вероятностное пространство, в котором ? –
ПОДРОБНЕЕ
Корреляционная функция
Корреляционная функция – функция времени или пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами. Зависящая от времени корреляция двух случайных функций X (t) и
ПОДРОБНЕЕ
Волновая функция
Волновая функция, или пси-функция – Основной математический объект квантовой механики при ее формулировке, как волновой механики. В простейшем случае это комплексная квадратично интегрируема функция
ПОДРОБНЕЕ