Собственная функция
Собственной функцией линейного оператора L с собственным значением ? называется такая ненулевая функция f, для которой выполняется соотношение
L (f) = ? f,
где ? это определенное число (действительное или комплексное). Таким образом, действие оператора L на его собственную функцию f сводится к умножению f на число ?. Понятие собственной функции – это образец общего понятия собственного вектора линейного оператора, когда роль векторов играют функции. В частности, оно широко вистосовуеться в теории дифференциальных и интегральных операторов. Если L – это оператор Шредингера с квантовой механики, то его собственные функции имеют смысл векторов стационарного состояния, а собственные значения соответствуют энергии (см. Стационарное уравнение Шредингера). Подавляющее большинство специальных функций и все ортогональные полиномы, которые рассматриваются в математике и физике, являются собственными функциями определенных дифференциальных операторов.
Если для оператора существует более одной линейно независимую собственную функцию с одинаковым собственным значением ?, то такое собственное значение называется вырожденным. Множество всех собственных значений оператора L принадлежит к спектру L, но вообще спектр оператора содержит также ?, не являются собственными числами.
1. Рассмотрим изменение направления
на числовой оси
. Это – отражение
к себе, что приводит к линейному оператору S, действующий на функциях на
по формуле
S f (x) = f (- x).
Собственными функциями S есть все четные функции, отвечающие собственному значению 1, и все нечетные функции, отвечающие собственному значению -1, за исключением функции 0. Функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, не относятся к собственным функциям данного оператора. Спектр данного оператора совпадает с множеством собственных значений и состоит из двух числел: 1 и -1. Оба собственные значения вырожденные, поскольку существует множество парных или нечетных функций.
2. Для оператора производной
является собственной функцией с собственным значением k. В теории дифференциальных уравнения доказывается, что любая Фунция f (x), удовлетворяющим уравнению
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566285_45d04b4e08f8233385d313240296143af.png)
имеет вид f (x) = C e k x, т.е. пропорциональна e k x. Поэтому ни одно из собственных значений является вырожденным. Если распространить пространство, на котором действует
в пространство всех дифференцируемых комплекснозначних функций, то любая собственная функция
пропорциональна комплексной экспоненциальной функции ![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566330_7d70c161e226e732dbee339e2752f2f51.png)
3. Многочлены Лежандра
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566308_866ec4ae31427b2e0bbfcd2bf0b35daf3.png)
являются собственными функциями дифференциального оператора
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566295_9ca396e7f7d55607109ab0529d51ba726.png)
с собственными значениями ? = – l (l + 1). Эти функции – конечные в точках
и любая собственная функция L конечна в
пропорционально определенного ![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566263_1254cb1d42aeff7ae7ca88848e5d0da742.png)
L (f) = ? f,
где ? это определенное число (действительное или комплексное). Таким образом, действие оператора L на его собственную функцию f сводится к умножению f на число ?. Понятие собственной функции – это образец общего понятия собственного вектора линейного оператора, когда роль векторов играют функции. В частности, оно широко вистосовуеться в теории дифференциальных и интегральных операторов. Если L – это оператор Шредингера с квантовой механики, то его собственные функции имеют смысл векторов стационарного состояния, а собственные значения соответствуют энергии (см. Стационарное уравнение Шредингера). Подавляющее большинство специальных функций и все ортогональные полиномы, которые рассматриваются в математике и физике, являются собственными функциями определенных дифференциальных операторов.
Если для оператора существует более одной линейно независимую собственную функцию с одинаковым собственным значением ?, то такое собственное значение называется вырожденным. Множество всех собственных значений оператора L принадлежит к спектру L, но вообще спектр оператора содержит также ?, не являются собственными числами.
1. Рассмотрим изменение направления
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566295_197dff977cd36d76fe0107f11a0592402.png)
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566341_269a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png)
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566341_269a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png)
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566341_269a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png)
S f (x) = f (- x).
Собственными функциями S есть все четные функции, отвечающие собственному значению 1, и все нечетные функции, отвечающие собственному значению -1, за исключением функции 0. Функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, не относятся к собственным функциям данного оператора. Спектр данного оператора совпадает с множеством собственных значений и состоит из двух числел: 1 и -1. Оба собственные значения вырожденные, поскольку существует множество парных или нечетных функций.
2. Для оператора производной
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566309_3568ed527609bf076a3f8bfc256a7db01.png)
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566285_45d04b4e08f8233385d313240296143af.png)
имеет вид f (x) = C e k x, т.е. пропорциональна e k x. Поэтому ни одно из собственных значений является вырожденным. Если распространить пространство, на котором действует
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566322_5425efe85ab24d839b25c608dbbb95313.png)
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566315_6d7f842f9cba8c0ea79c20a5597383cb3.png)
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566330_7d70c161e226e732dbee339e2752f2f51.png)
3. Многочлены Лежандра
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566308_866ec4ae31427b2e0bbfcd2bf0b35daf3.png)
являются собственными функциями дифференциального оператора
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/thumbs/1298566295_9ca396e7f7d55607109ab0529d51ba726.png)
с собственными значениями ? = – l (l + 1). Эти функции – конечные в точках
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566272_103fd85f2ccb188ce6180826ee034c1a36.png)
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566290_1113853311d8ca092c19792d95d501f859.png)
![Собственная функция Собственная функция](/uploads/posts/2011-02/1298566263_1254cb1d42aeff7ae7ca88848e5d0da742.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line1.png)
![](/templates/simpletape-v2-105/images/full-news-line2.png)
Вектор состояния
Вектор состояния – совокупность характеристик, однозначно определяют состояние квантовой системы. Понятие вектор состояния является обобщением понятия волновой функции. Волновая функция, эволюция
ПОДРОБНЕЕ
Эрмита оператор
Линейный оператор в комплексном гильбертовом пространстве называется эрмитовой, если для всех выполняется тождество что записывается также как L = L +. Эрмита операторы играют важную роль в квантовой
ПОДРОБНЕЕ
Собственный вектор
На изображении мы видим транформации сдвига, что происходит с Джокондой. Синий вектор меняет направление, а красный – нет. Поэтому красный является собственным вектором такого преобразования, а синий
ПОДРОБНЕЕ
Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, которое определяет закон эволюции квантовой системы со временем. , где – Волновая функция, H – гамильтониан. Впервые это
ПОДРОБНЕЕ
Гамильтониан
Гамильтониан – оператор энергии в квантовой механике. Его спектр определяет все возможные значения энергии квантовой системы, которые можно получить при измерении. Название гамильтониан, как и
ПОДРОБНЕЕ
Вторичное квантование
Вторичное квантование – процедура перехода от классической механики к квантовой с учетом квантовости не только частиц, но и полей. При вторичном квантовании как частицы, так и поля описываются
ПОДРОБНЕЕ