Собственная функция

Собственной функцией линейного оператора L с собственным значением ? называется такая ненулевая функция f, для которой выполняется соотношение

L (f) = ? f,

где ? это определенное число (действительное или комплексное). Таким образом, действие оператора L на его собственную функцию f сводится к умножению f на число ?. Понятие собственной функции – это образец общего понятия собственного вектора линейного оператора, когда роль векторов играют функции. В частности, оно широко вистосовуеться в теории дифференциальных и интегральных операторов. Если L – это оператор Шредингера с квантовой механики, то его собственные функции имеют смысл векторов стационарного состояния, а собственные значения соответствуют энергии (см. Стационарное уравнение Шредингера). Подавляющее большинство специальных функций и все ортогональные полиномы, которые рассматриваются в математике и физике, являются собственными функциями определенных дифференциальных операторов.
Если для оператора существует более одной линейно независимую собственную функцию с одинаковым собственным значением ?, то такое собственное значение называется вырожденным. Множество всех собственных значений оператора L принадлежит к спектру L, но вообще спектр оператора содержит также ?, не являются собственными числами.
1. Рассмотрим изменение направления на числовой оси . Это – отражение к себе, что приводит к линейному оператору S, действующий на функциях на по формуле

S f (x) = f (- x).

Собственными функциями S есть все четные функции, отвечающие собственному значению 1, и все нечетные функции, отвечающие собственному значению -1, за исключением функции 0. Функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, не относятся к собственным функциям данного оператора. Спектр данного оператора совпадает с множеством собственных значений и состоит из двух числел: 1 и -1. Оба собственные значения вырожденные, поскольку существует множество парных или нечетных функций.
2. Для оператора производной является собственной функцией с собственным значением k. В теории дифференциальных уравнения доказывается, что любая Фунция f (x), удовлетворяющим уравнению



имеет вид f (x) = C e k x, т.е. пропорциональна e k x. Поэтому ни одно из собственных значений является вырожденным. Если распространить пространство, на котором действует в пространство всех дифференцируемых комплекснозначних функций, то любая собственная функция пропорциональна комплексной экспоненциальной функции
3. Многочлены Лежандра



являются собственными функциями дифференциального оператора



с собственными значениями ? = – l (l + 1). Эти функции – конечные в точках и любая собственная функция L конечна в пропорционально определенного