Вариационное исчисление

Вариационное исчисление – это раздел функционального анализа, который занимается дифференцированием функционалов.
Примечание: функционалы можно интегрировать по пространству функций. Эту операцию впервые применил американский физик Ричард Фейнман, введя понятие интеграла функционала по траекториям. Этот интеграл оказывается сходящимся при условии, что подинтегральной функционал довольно быстро стремится к нулю, когда осцилляции аргументную функции нарастают.
Самым важным для практики является функционал вида:



для случая функции скалярного аргумента (x = x (t)), и



для случая вектор-функции нескольких координат (x i = x i (u 1, u 2, … u n)).
К этим двум функционалов приводят во-первых, задачи на минимум / максимум в физике, дифференциальной геометрии, теории оптимального управления. А во-вторых, возможность вывода уравнений физики из равенства нулю вариации функционала действия.
В частности, именно вариационное исчисление началось с задачи о брахистрохрону (кривую линию, двигаясь по которой без трения материальная точка под действием силы тяжести быстрее достигнет фиксированной финишной точки. Если выбрать систему координат, направив ось O y вертикально вниз, то скорость Материальная точки будет, а время спуска по кривой дается интегралом



В задаче нужно найти такую функцию y = y (x), зафиксированную на концах: y (0) = 0, y (x 0) = y 0, чтобы данный интеграл был минимальным. Очевидно, что интеграл (3) с точностью до замены обозначений совпадает с функционалом (1). В дифференциальной геометрии поиск геодезической линии (кратчайшей линии, соединяющей две точки многообразия) приводит к функционалу (1), где



А поиск минимальных многообразий, натянутых на "рамку", приводит к функционалу вида (2).
Функционал является функцией, областью определения которой (аргументом) есть множество функций, а множеством значений – действительные (или комплексные числа). Очевидно, что если бы не вводить специального термина "функционал", то была бы терминологическая путаница при рассуждениях о аргумент и значение функционала. Это же замечание касается и дифференцировки, ведь аргумент функционала также можно дифференцировать. Поэтому при рассмотрении функционалов малый прирост аргумента (и, соответственно, функционала) называют вариацией, и обозначают малой греческой буквой:



Вариация является аналогом понятия дифференциала обычных функций. Можно себе представлять вариацию x, как функция имеющий очень малый размах ("амплитуду"), и обращается в нуль на границе области интегрирования (т.е. для функционала (1) x | a = x | b = 0). В остальном эта функция имеет произвольную форму, можно записать так: x (t) = f (t), где – бесконечно малое положительное число.
Вычисление вариаций для функционалов (1) и (2) аналогичное. Начнем с более простого функционала (1). Имеем:



В последнем слагаемом (в подынтегральной функции) мы можем переставить взятия вариации и взятие производной по для аргументную функции ():



Теперь мы можем проинтегрировать последнее слагаемое в (4) частями:



Поскольку на концах интервала интегрирования вариация функции превращается в ноль ( x = 0 при t = a и при t = b), то для вариации функционала (4) имеем окончательно:



Теперь мы можем дать ответ на вопрос: при каких условиях вариация функционала (5) равен нулю. Поскольку вариация x является произвольной функцией, мы можем выбрать произвольную точку внутри области интегрирования, функция x = x (t) взять такой, что она положительна в малом окрестности точки t 0, а во всех точках за пределами этого окрестности – превращается в нуль. Если выражение в скобках под интегралом (5) будет отличным от нуля в точке t 0, и мало изменяться в выбранном малом окрестности (фактически считаться константой по сравнению со скоростью изменения вариации x (t), которую мы можем вынести за знак интеграла), то интеграл (5) также будет отличным от нуля. Итак, чтобы при любой вариации x (t) мы нулевую вариацию функционала (5), надо чтобы выполнялось уравнение Эйлера-Лагранжа:



Формула (6) легко распространяется на случай (который в практических задачах почти не встречается), когда функция Лагранжа L зависит от старших производных аргументную функции x (t):



Формула (6) будет аналогичной и в случае когда функционал зависит от вектор-функции скалярного аргумента:



Теперь можно рассмотреть также и дифференцировки функционала (2). Вычисление оказываются аналогичными, но при интегрировании частями нужно воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса, которая переводит интеграл от дивегренции по объему в интеграл по гиперповерхности, ограничивающий этот объем (здесь по одинаковым индексам проводится добавление согласно правилу Эйнштейна):



Имеем (обозначив для краткости элемент объема d = d u 1 d u 2 … d u n):



Второе слагаемое интегрируем частями, предварительно выделив дивергенцию (первым слагаемым):



Интеграл от первого слагаемого превращается в интеграл по поверхности, по формуле Остроградского-Гаусса. Он будет равен нулю, поскольку вариация x i (u) на границе интегрирования превращается в ноль. Таким образом, имеем формулу первой вариации:



И соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа:



Функционал в окрестности фиксированной аргументную функции можно разложить в ряд Тейлора по степеням малости вариации x:



Очевидно, что в локальном минимуме функционала первой вариации вариация равна нулю, а вторая должна быть положительно-определенной квадратичной формой от вариации аргумента x (и отрицательно определенной в точке локального максимума). Рассмотрим случай функционала от вектор-функции скалярного аргумента x i = x i (t), введем обозначения скоростей. Тогда функция Лагранжа L разлагается в ряд Тейлора (производные L по аргументах обозначать индексами внизу):



Итак второй вариации функционала равен: