Аксиоматический метод

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, которые называют аксиомами теории, а все остальные положения теории вытекают как логические следствия аксиом. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика, ряд разделов физики построены на основе аксиоматического метода. В математике аксиоматический метод дает возможность создания законченных, логичнозавершиних научных теорий. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, часто находит применение в других науках.
В математике аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом его применения вплоть до XIX в. была геометрическая система, известная под названием «Начала» Евклида (ок. 300 до н.э.). Хотя в то время не стоял еще вопрос об описании логических средств, применяемых для получения содержательных последствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко прослеживается идея получения всего основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем, с определенного, относительно небольшого, числа утверждений – аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.
Открытие в начале XIX в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Бойяи стало толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно «объективно истинный» V постулат Евклида о параллельных прямых его отрицанием, можно развивать чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков XIX в. обратить особое внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что привело к возникновению связанной с самим понятием аксиоматического метода и формальной (аксиоматической) математической теории новой проблематики, на основе которой выросла так называемая теория доказательств как основной раздел современной математической логики.
Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более или менее отчетливой форме уже в XIX в. Уточнение основных понятий анализа и сведения сложных понятий к простейшему на точной и логически все более прочной основе, а также открытие неевклидовых геометрий стимулировали развитие аксиоматического метода и возникновения проблем общего математического характера, таких, как непротиворечивость, полнота и независимость той или системы аксиом.
Первые результаты в этой области принес метод интерпретаций, который может быть описан следующим образом. Пусть каждому выходному понятию и соотношению данной аксиоматической теории Т поставлен в соответствие определенный конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению U теории Т естественным образом ставится в соответствие определенное высказывание U * об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждения U теории Т соответствии истинное или ложное в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойства обычно сами являются объектом рассмотрения определенной математической теории T 1, которая, в частности, может быть тоже аксиоматической.
Метод интерпретаций позволяет устанавливать факт относительной непротиворечивости, то есть доказать утверждения типа: «если теория T 1 непротиворечива, то непротиворечивая и теория Т». Пусть теория Т проинтерпретированы в теории T 1 таким образом, что все аксиомы А и теории Т интерпретируются истинными утверждениями А и * теории Т 1. Тогда всякая теорема теории Т, то есть всякое утверждение А, логически выведено из аксиом А и в Т, интерпретируется в T 1 определенным утверждением А *, которое можно вывести в Т из интерпретаций А * и аксиом А и, и следовательно истинным. Последнее утверждение опирается на еще одно предположение, что делается неявно нами, определенного сходства логических средств, применяемых в теориях Т и Т 1. Практически это условие обычно выполняется. Пусть теперь теория Т противоречива, то есть некое утверждение А этой теории выведено в ней вместе со своим отрицанием. Тогда из вышесказанного следует, что утверждение А * и «не А *» будут одновременно истинными утверждениями теории Т 1, т.е. теория Т 1 противоречива. Этим методом была, например, доказано (Ф. Клейн, А. Пуанкаре) непротиворечивость неевклидовой геометрии Лобачевского в предположении, что непротиворечивая геометрия Евклида, а вопрос о непротиворечивость гильбертово аксиоматизациы евклидовой геометрии был возведен (Д. Гильберт) к проблеме непротиворечивости арифметики.
Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома А теории Т не виводима из других аксиом этой теории и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной теории, достаточно построить такую интерпретацию теории Т, в которой аксиома А была бы ошибочна, а все остальные аксиомы данной теории истинны. Вышеупомянутое возведения проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней – к вопросу о непротиворечивость арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не виводимий из других аксиом геометрии, если только непротиворечивой является арифметика натуральных чисел.
Слабая сторона метода интерпретаций заключается в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать только результаты, носят относительный характер. Важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была обнаружена особая роль арифметики как такой математической теории, к вопросу о непротиворечивости которой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий.
Дальнейшее развитие – в известном смысле это была вершина – аксиоматический метод получил в работах Д. Гильберта и его школы. В рамках этого направления было произведено дальнейшее уточнение понятия аксиоматической теории, а само понятие формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представлять сами математические теории как точные математические объекты и строить общую теорию, или метатеорию, таких теорий. При этом привлекательной представлялась перспектива (и Д. Гильберт был в свое время ею увлечен) решить на этом пути все главные вопросы обоснования математики. Всякая формальная система строится как точно очерченное класс выражений формул, в котором определенным точным образом выделяется подкласс формул, называют теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы сами не несут в себе никакой смысловой смысла, их можно строить по произвольным знаков или элементарных символов, руководствуясь только соображениями технической удобства. На самом деле способ построения формул и понятия теоремы той или формальной системы выбираются с таким расчетом, чтобы весь этот формальный аппарат можно было применять для как можно более адекватного и полного выражения той или конкретной математической (или не математической) теории, точнее, как ее фактического содержания, так и ее дедуктивной структуры. Всякую конкретную математическую теорию Т можно перевести на язык пригодной формальной системы S таким образом, что каждое осмысленное (ложное или истинное) выражения теории Т выражается известной формулой системы S.
Естественно ожидать, что метод формализации позволит строить весь положительный смысл математических теорий на такой точной и, казалось бы, надежной основе, как понятие выведенной формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математических теорий решать форме доказательств соответствующих утверждений формальных систем, которые формализуют эти теории. Чтобы получить доказательства утверждений о непротиворечивость, не зависящих от тех мощных средств, которые в классических математических теориях раз и является причиной осложнений их обоснования, Д. Гильберт предлагал исследовать формальные системы т.н. финитными методами (см. метаматематики).
Однако результаты К. Геделя начале 30-х г. XX в. привели к краху основных надежд, что связывались с этой программой. К. Гедель показал следующее.
1) Всякая естественная, непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику (напр., теории множеств), неполная и непополняемые в том смысле, что: а) в S содержатся (содержательно истинные неразрешимые формулы, есть такие формулы А, ни А, ни отрицания А не виводими в S (неполнота формализованной арифметикы), б) какой бы конечным множеством дополнительных аксиом (напр., неразрешимыми в S формулам) расширять систему S, в новой, усиленной таким образом формальной системе неизбежно появятся свои неразрешимые формулы (непоповнюванисть; см. также Геделя теорема о неполноте).
2) Если формализованная арифметика действительности непротиворечива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивость может быть выражено ее собственным языком, доведение этого утверждения невозможно провести средствами, формализуются в ней самой.
Это означает, что уже для арифметики принципиально невозможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом виводимих формул какой бы формальной системой и что нет никакой надежды получить какое-либо финитных доведение непротиворечивости арифметики, потому что, очевидно, всякое разумное уточнение понятия финитного доведение оказывается формализуемим в формальной арифметике.
Все это ставит определенные границы можливстям А. м. в том его виде, который он приобрел в рамках гильбертовського формализма. Однако и в этих границах он сыграл и продолжает играть важную роль в основании математики. Так, например, уже после описанных результатов К. Геделя им же в 1938-40 гг, а затем П. Коэном в 1963 г. на основе аксиоматического подхода с применением метода интерпретаций были получены фундаментальные результаты о совместимости (т.е. относительную непротиворечивость) и независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы в теории множеств. Что касается такого основного вопроса основ математики, как проблема непротиворечивости, и после результатов К. Геделя стало ясно, что для его решения, очевидно, не обойтись без других, отличных от финитистських, средств и идей. Здесь оказались возможными различные подходы, учитывая существование различных взглядов на допустимость тех или иных логических средств.
Из результатов о непротиворечивость формальных систем следует указать на доведение непротиворечивости формализованной арифметики, опирающегося на бесконечную индукцию к определенному счетно трансфинитной числа.
По П. С. Новиковым.